《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.$A,B$是平面内不重合的两个确定的点，$O$是平面内不在直线$AB$上的一个确定的点，$P$是平面内任意一点，则以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$为平面内的一组确定的基底向量，将$\overrightarrow{OP}$用基底向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$表示，得$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则点$P$必在直线$AB$上或在平行于$AB$的直线上，令$\lambda +\mu =k$，不同的$k$值与不同的平行于$AB$的直线一一对应，我们把直线$AB$以及与直线$AB$平行的直线称为等和线.试证明该命题成立.

答案：
1.证明：P点是平面内任意一点，总可以过P点作直线A'B'//AB，交直线OA于A'，交直线OB于B'，分以下五种情况讨论：
①当k = 1时，点P在直线AB上(如图1).
∵A'B'与AB重合，即$\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}} = 1$，即k = 1，
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}$，
∴$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA'}+\mu\overrightarrow{OB'}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，
又
∵A'，B'，P三点共线，
∴$\lambda + \mu = 1$.

②当k∈(0, 1)时，点P在O点和直线AB之间的平行于AB的直线上(如图2)，
则$\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}} = k$.
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OA'}$，$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OB'}$，
∴$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=\frac{\lambda}{k}\overrightarrow{OA'}+\frac{\mu}{k}\overrightarrow{OB'}$，
∵A'，B'，P三点共线，
∴$\frac{\lambda}{k}+\frac{\mu}{k}=1$，
∴$\lambda + \mu = k$.

③当k∈(1, +∞)时，点P在直线AB外侧且平行于AB的直线上(如图3)，
则$\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}} = k$.
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OA'}$，$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OB'}$，
∴$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=\frac{\lambda}{k}\overrightarrow{OA'}+\frac{\mu}{k}\overrightarrow{OB'}$，
∵A'，B'，P三点共线，
∴$\frac{\lambda}{k}+\frac{\mu}{k}=1$，
∴$\lambda + \mu = k$.

④当k = 0时，点P在过O点且平行于AB的直线上(如图4).
∵$\overrightarrow{OP} // \overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}(m\in R)$(注：当m = 0时，O，P重合，此时$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$).
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}=-m\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，
∴$\lambda=-m$，$\mu = m$，
∴$\lambda + \mu = 0$，
又
∵此时A'，B'，O三点重合，
∴$\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}} = k = 0$，
∴$\lambda + \mu = 0 = k$.

⑤当k∈(-∞, 0)时，点P在O点外侧且平行于AB的直线上(如图5)，
则$\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}}=-k$，
∴$\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{k}\overrightarrow{OA'}$，$\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{k}\overrightarrow{OB'}$(注：$\overrightarrow{OA'}$与$\overrightarrow{OA}$反向，$\overrightarrow{OB'}$与$\overrightarrow{OB}$反向，且k∈(-∞, 0)，故符号为正)，
∴$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=-\frac{\lambda}{k}\overrightarrow{OA'}-\frac{\mu}{k}\overrightarrow{OB'}$，
∵A'，B'，P三点共线，
∴$-\frac{\lambda}{k}-\frac{\mu}{k}=1$，
∴$\lambda + \mu = k$.

综上可知，点P必在直线AB上或在平行于AB的直线上，根据向量共线的性质以及题设条件必有以下规律：$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，且$\lambda + \mu = k$，其中k由共线向量关系$\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}$(或$\overrightarrow{OB'}=k\overrightarrow{OB}$)确定，故命题正确.