《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1. 已知$P$是复平面内表示复数$a + bi(a, b \in \mathbf{R})$的点，若复数$a + bi$是虚数，则点$P$ (D)

A.在虚轴上
B.不在虚轴上
C.在实轴上
D.不在实轴上

答案： 1.D[提示：若复数$a + bi$是虚数，则$b \neq 0$，故$P(a,b)$不在实轴上.]

2. 复数$1 + 3i$对应的点在 (A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.A[提示：复数$1 + 3i$在复平面内对应的点为$(1,3)$，位于第一象限.]

3. 已知复平面内的平行四边形$ABCD$，三个顶点$A, B, C$对应的复数分别是$1 + 2i, -2 + i, 0$，那么点$D$对应的复数为 (C)

A.$1 - 3i$
B.$3 - i$
C.$3 + i$
D.$-1 + 3i$

答案： 3.C[提示：根据复数的几何意义可知$A(1,2)$，$B(-2,1)$，$C(0,0)$，设$D(x,y)$，则由$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow (-3,-1) = (-x,-y) \Rightarrow x = 3,y = 1$，所以$D(3,1)$，因此点$D$对应的复数为$3 + i$.]

4. 已知复数$z = a + (a - 2)i(a \in \mathbf{R})$的虚部是实部的$3$倍，则$|z|$等于 (B)

A.$4$
B.$\sqrt{10}$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$

答案： 4.B[提示：由题意可知$a - 2 = 3a$，解得$a = -1$，所以$z = -1 - 3i$，所以$\vert z\vert = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.]

5. 若复数$z = 1 + 2i$，则$|z| =$$\sqrt{5}$.

答案： 5.$\sqrt{5}$[提示：$\vert z\vert = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.]

6. 已知$z = (2 - 2i)i$，则$\overline{z}$等于 (B)

A.$2 + 2i$
B.$2 - 2i$
C.$-2 + 2i$
D.$-2 - 2i$

答案： 6.B[提示：$z = (2 - 2i)i = 2 + 2i$，由共轭复数的定义可知$\overline{z} = 2 - 2i$.]

7. 已知$\overline{z}$是复数$z$的共轭复数，$\overline{z} = 1 - 3i$，其中$i$是虚数单位，则$|z| =$$\sqrt{10}$.

答案： 7.$\sqrt{10}$[提示：$\overline{z} = 1 - 3i$，则$z = 1 + 3i$，$\vert z\vert = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.]

1.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨松雷中学高一下月考)已知复数$z = -3 + 4i$，则$z$在复平面内对应的点在 (B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.B[提示：因为复数$z = -3 + 4i$，所以$z$在复平面内对应的点为$(-3,4)$，位于第二象限.]

2.【题型二】[多选]下列各复数中，模为$1$的有 (AD)

A.$1$
B.$2 - i$
C.$1 - i$
D.$i$

答案： 2.AD[提示：对于$A$，因为$\vert1\vert = 1$，所以$A$正确；对于$B$，因为$\vert2 - i\vert = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$，所以$B$错误；对于$C$，因为$\vert1 - i\vert = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$，所以$C$错误；对于$D$，因为$\vert i\vert = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$，所以$D$正确.]

3.【题型一、二】(2025·黑龙江双鸭山一中等校高一下段考)[多选]已知复数$z = 3 - 4i$，以下说法正确的是 (ABC)

A.$z$的实部是$3$
B.$|z| = 5$
C.$\overline{z} = 3 + 4i$
D.$z$在复平面内对应的点在第一象限

答案： 3.ABC[提示：因为复数$z = 3 - 4i$，所以实部为$3$，故$A$正确；$\vert z\vert = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$，故$B$正确；$\overline{z} = 3 + 4i$，故$C$正确；因为$z = 3 - 4i$，所以在复平面内对应的点的坐标为$(3,-4)$，位于第四象限，故$D$错误.]

4.【题型一、二】[多选]设复数$z = m(3 + i) - (2 + i)$，$i$为虚数单位，$m \in \mathbf{R}$，则下列结论正确的有 (AC)

A.当$\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$时，复数$z$在复平面内对应的点位于第四象限
B.若复数$z$在复平面内对应的点位于直线$x - 2y + 1 = 0$上，则$m = 1$
C.若复数$z$是纯虚数，则$m = \frac{2}{3}$
D.在复平面内，复数$z - 1$对应的点为$Z'$，$O$为原点，若$|\overrightarrow{OZ'}| = \sqrt{10}$，则$m = 2$

答案： 4.AC[提示：$z = (3m - 2) + (m - 1)i$.对于$A$，当$\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$时，$0 ＜ 3m - 2 ＜ 1$，$m - 1 ＜ 0$，$\therefore$复数$z$在复平面内对应的点位于第四象限，$\therefore A$正确；对于$B$，若复数$z$在复平面内对应的点位于直线$x - 2y + 1 = 0$上，则$3m - 2 - 2(m - 1) + 1 = 0$，解得$m = -1$，$\therefore B$错误；对于$C$，若复数$z$是纯虚数，则$\begin{cases}3m - 2 = 0,\\m - 1 \neq 0,\end{cases}$，$\therefore m = \frac{2}{3}$，$\therefore C$正确；对于$D$，$\because z - 1 = (3m - 3) + (m - 1)i$，$\therefore\vert\overrightarrow{OZ'}\vert = \sqrt{(3m - 3)^2 + (m - 1)^2} = \sqrt{10}$，解得$m = 0$或$m = 2$，$\therefore D$错误.]

5.【题型一】已知模为$2$的复数$z$对应的向量为$\overrightarrow{OZ}$($O$为坐标原点)，它对应的点位于第二象限，$\overrightarrow{OZ}$与实轴正方向的夹角为$150^{\circ}$，则复数$z$为 (D)

A.$1 + \sqrt{3}i$
B.$2$
C.$-1 - \sqrt{3}i$
D.$-\sqrt{3} + i$

答案： 5.D[提示：设复数$z$对应的点为$(x,y)$，则$x = \vert z\vert\cos150^{\circ}= -\sqrt{3}$，$y = \vert z\vert\sin150^{\circ}= 1$，所以$z = -\sqrt{3} + i$.]

6.【题型一】若复数$z = 2 - 3i$与其共轭复数在坐标原点为$O$的复平面内所对应的点分别为$A, B$，则$\triangle OAB$的面积为6.

答案： 6.6[提示：$\because$复数$z = 2 - 3i$对应的点为$A(2,-3)$，共轭复数$\overline{z} = 2 + 3i$对应的点为$B(2,3)$，$\therefore AB = 6$，原点$O$到$AB$的距离为$2$，$\therefore\triangle OAB$的面积为$\frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$.]

7.【题型一、二】已知复数$z$在复平面内对应的点在射线$y = 2x(x \geq 0)$上，且$|z| = \sqrt{5}$，则其共轭复数$\overline{z}$的虚部为$-2$.

答案： 7.$-2$[提示：设$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$，$\because$复数$z$在复平面内对应的点在射线$y = 2x(x \geq 0)$上，则$b = 2a(a \geq 0)$.$\because\vert z\vert = \sqrt{5}$，$\therefore\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}$，解得$a = 1$，$\therefore b = 2$，$\therefore z = 1 + 2i$，$\overline{z} = 1 - 2i$，$\therefore$复数$\overline{z}$的虚部为$-2$.]

8.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨七十三中高一下月考)设复数$z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 7a + 6)i$，其中$a \in \mathbf{R}$.
(1)若$z$是纯虚数，求$a$的值；
(2)若$z$所对应的点在复平面的第四象限内，求$a$的取值范围.

答案： 8.解：
(1)$\because z$是纯虚数，$\therefore\begin{cases}a^2 + a - 2 = 0,\\a^2 - 7a + 6 \neq 0,\end{cases}$解得$a = -2$.
(2)由题意知$\begin{cases}a^2 + a - 2 ＞ 0,\\a^2 - 7a + 6 ＜ 0,\end{cases}$解得$1 ＜ a ＜ 6$，故当$1 ＜ a ＜ 6$时，$z$所对应的点在复平面的第四象限内.