《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.【题型一】已知$z = 2 - i$,则$z(\overline{z} + i)$等于(C)

A.$6 - 2i$
B.$4 - 2i$
C.$6 + 2i$
D.$4 + 2i$

答案： 1.C[提示：因为 z = 2 - i，故$\overline{z}=2 + i$，故(z·\overline{z}+i)=(2 - i)(2 + i)=4 - i^{2}=6 + 2i.]

2.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考)设复数$z$满足$\frac{z}{1 - i} = 1 + 2i$,则$z$的虚部为(B)

A.$- 1$
B.$1$
C.$- i$
D.$i$

答案： 2.B[提示：$\because z=(1 + 2i)(1 - i)=3 + i$，$\therefore$复数 z 的虚部为 1.]

3.【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨六中高一下月考)如图,在复平面内,复数$z_{1},z_{2}$对应的向量分别是$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$,
则$\frac{z_{2}}{z_{1}}$对应的点位于(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.B[提示：由题意可知$z_{1}=2 + i,z_{2}=-1 + i$，$\therefore\frac{z_{2}}{z_{1}}=\frac{-1 + i}{2 + i}=\frac{(-1 + i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{-1}{5}+\frac{3}{5}i$，对应的点的坐标为$(-\frac{1}{5},\frac{3}{5})$，位于第二象限.]

4.【题型二、三、四】已知复数$z = \frac{i^{2021}}{3 - i}$,则复数$z$在复平面内对应的点位于(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 4.B[提示：$\because i^{2021}=(i^{4})^{505}· i = i$，$\therefore z=\frac{i(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}=-\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i$，复数 z 在复平面内对应的点为$(-\frac{1}{10},\frac{3}{10})$，位于第二象限.]

5.【题型二、三、四】[多选]若复数$z = \frac{4 - 2i}{1 - i^{2023}}$(i为虚数单位),则下列说法正确的是(BC)

A.$z$的虚部为$- 3i$
B.$z$的虚部为$- 3$
C.$\overline{z}$在复平面内对应的点位于第一象限
D.$\overline{z}$在复平面内对应的点位于第二象限

答案： 5.BC[提示：$\because i^{2023}=(i^{4})^{505}· i^{3}=-i$，$\therefore z=\frac{4 - 2i}{1 - i^{2023}}=\frac{2(2 - i)}{1 + i}=\frac{2(2 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=1 - 3i$，z 的虚部为 - 3，故 A 错误，B 正确；$\overline{z}=1 + 3i$，故 z 在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限，故 C 正确，D 错误.]

6.【题型二、四】[多选]已知复数$z = \frac{5 + i}{1 + i}$,则下列说法正确的是(BC)

A.$|z| = \sqrt{13}$
B.$z$的虚部为$- 2$
C.$z$在复平面内对应的点在第四象限
D.$z$的共轭复数为$- 3 - 2i$

答案： 6.BC[提示：$z=\frac{5 + i}{1 + i}=\frac{(5 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=3 - 2i$。对于 A，$\vert z\vert=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}$，故 A 错误；对于 B，z 的虚部为 - 2，故 B 正确；对于 C，z 在复平面内对应的点(3,-2)在第四象限，故 C 正确；对于 D，z 的共轭复数为 3 + 2i，故 D 错误.]

7.【题型一、四】[多选]已知i是虚数单位,$z$是复数,则下列叙述正确的是[素养题](AD)

A.$z · \overline{z} = |z|^{2} = |\overline{z}|^{2}$
B.若复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$,则$z$为纯虚数的充要条件是$a = 0$
C.若$|z| \leq 1$,则在复平面内$z$对应的点$Z$的集合确定的图形面积为$2\pi$
D.$z = 2 + 3i$是关于$x$的方程$x^{2} - 4x + 13 = 0$的一个根

答案： 7.AD[提示：对于 A，设 z = c + di(c,d∈R)，则$\overline{z}=c - di$，故$z·\overline{z}=\vert z\vert^{2}=\vert\overline{z}\vert^{2}=c^{2}+d^{2}$，故 A 正确；对于 B，设复数$z=a + bi(a,b∈R)$，当 a = 0,b = 0 时，z = 0，z 不为纯虚数，故 B 错误；对于 C，$\vert z\vert\leqslant1$，则在复平面内 z 对应的点 Z 的集合确定的图形为以(0,0)为圆心，1 为半径的圆，以及圆的内部，故在复平面内 z 对应的点 Z 的集合确定的图形面积为$\pi×1^{2}=\pi$，故 C 错误；对于 D，$(2 + 3i)^{2}-4(2 + 3i)+13=4 - 12 + 12i - 8 - 12i + 13=0$，故 z = 2 + 3i 是关于 x 的方程$x^{2}-4x + 13 = 0$的一个根，故 D 正确.]

8.【题型一、四】(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)已知$p,q$为实数,$- 3 - 2i$是关于$x$的方程$2x^{2} + px + q = 0$的一个根,其中i是虚数单位,则$p - q =$-14.

答案： 8.-14[提示：方法 1：由实系数一元二次方程复数根的共轭性质可知另外一个根为 - 3 + 2i，根据韦达定理可知$-\frac{p}{2}=(-3 + 2i)+(-3 - 2i)=-6$，$\frac{q}{2}=(-3 + 2i)(-3 - 2i)=13$，解得$\begin{cases}p = 12,\\q = 26,\end{cases}$故 p - q = - 14.
方法 2：由题意，得 2(-3 - 2i)+p(-3 - 2i)+q = 0，即 2(9 + 12i - 4)-3p - 2pi + q = 0，化简得 10 - 3p + q+(24 - 2p)i = 0，$\therefore$10 - 3p + q = 0 且 24 - 2p = 0，解得 p = 12,q = 26,p - q = - 14.]

9.【题型二、三、四】已知i为虚数单位,则$\frac{2 + i^{2023}}{(1 - i)^{2}} =$$\frac{1}{2}+i$.

答案： 9.$\frac{1}{2}+i$[提示：$i^{2023}=(i^{4})^{505}· i^{3}=-i$，$\frac{2 + i^{2023}}{(1 - i)^{2}}=\frac{2 - i}{2i + 1}=\frac{1}{2}+i$.]

10.【题型一、四】已知关于$x$的实系数一元二次方程$x^{2} + mx + 9 = 0$.
(1)若复数$z$是该方程的一个虚根,且$|z| + \overline{z} = 4 - 2\sqrt{2}i$,求$m$的值;
(2)记方程的两根分别为$x_{1}$和$x_{2}$,若$|x_{1} - x_{2}| = 2\sqrt{3}$,求$m$的值.

答案： 10.解：
(1)因为$\vert z\vert^{2}=z·\overline{z}$，所以$\vert z\vert=3$，因为$\vert z\vert+\overline{z}=4 - 2\sqrt{2}i$，所以$\overline{z}=1 - 2\sqrt{2}i$，所以$z = 1 + 2\sqrt{2}i$，由韦达定理可得$-m = z+\overline{z}=2$，所以$m = - 2$.
(2)若方程的两根为实数根，则$\vert x_{1}-x_{2}\vert=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{m^{2}-36}=2\sqrt{3}$，解得$m=\pm4\sqrt{3}$；若方程的两根为虚数根，则设$x_{1}=a + bi,x_{2}=a - bi,a,b\in R$，可得$\vert x_{1}-x_{2}\vert=\vert2bi\vert=2\sqrt{3}$，则$x_{1}=a+\sqrt{3}i,x_{2}=a-\sqrt{3}i$，$x_{1}x_{2}=a^{2}+3=9$，所以$a^{2}=6,a=\pm\sqrt{6}$，由韦达定理可得$-m=x_{1}+x_{2}=\pm2\sqrt{6}$，所以$m=\mp2\sqrt{6}$，所以$\Delta=m^{2}-36\lt0$，满足题意.综上，$m=\pm2\sqrt{6}$或$\pm4\sqrt{3}$.