《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

9.【题型一、二】已知复数$z = (2\sin\theta + \cos\theta) + (\sin\theta + 2\cos\theta)i$，其中$\theta \in (0, \pi)$.
(1)当$\theta = \alpha$时，$z$表示实数；当$\theta = \beta$时，$z$表示纯虚数，求$\tan(\alpha - \beta)$的值.
(2)复数$z$的长度记作$|z|$，求$|z|$的最大值.

答案： 9.解：
(1)由已知得$\sin\alpha + 2\cos\alpha = 0$，若$\cos\alpha = 0$，则$\sin\alpha = 0$，与$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$矛盾，所以$\cos\alpha \neq 0$，所以$\tan\alpha = -2$，又$\begin{cases}2\sin\beta + \cos\beta = 0,\\\sin\beta + 2\cos\beta \neq 0,\end{cases}$同理，$\cos\beta \neq 0$，所以$\tan\beta = -\frac{1}{2}$，所以$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{-2 - (-\frac{1}{2})}{1 + 1} = -\frac{3}{4}$.
(2)$\vert z\vert = \sqrt{(2\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta + 2\cos\theta)^2} = \sqrt{5 + 8\sin\theta\cos\theta} = \sqrt{5 + 4\sin2\theta}$，因为$\theta \in (0,\pi)$，所以$2\theta \in (0,2\pi)$，所以当$2\theta = \frac{\pi}{2}$，即$\theta = \frac{\pi}{4}$时，$\vert z\vert$取得最大值，最大值为$3$.

10.【题型一】已知在复平面内复数$z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} + 3m - 4)i$表示的点为$Z$.
(1)若点$Z$在函数$y = -2x - 6$的图象上，求实数$m$的值；
(2)若$O$为坐标原点，点$A$在$x$轴的正半轴上，且向量$\overrightarrow{OZ}$与$\overrightarrow{OA}$的夹角为钝角，求实数$m$的取值范围.

答案： 10.解：
(1)由题意知点$Z$的坐标为$(m^2 - m - 2,m^2 + 3m - 4)$，$\because$点$Z$在函数$y = -2x - 6$的图象上，$\therefore m^2 + 3m - 4 = -2(m^2 - m - 2) - 6$，$\therefore 3m^2 + m - 2 = 0$，解得$m = -1$或$m = \frac{2}{3}$.
(2)$\because$点$A$在$x$轴的正半轴上，且向量$\overrightarrow{OZ}$与$\overrightarrow{OA}$的夹角为钝角，$\therefore\begin{cases}m^2 - m - 2 ＜ 0,\\m^2 + 3m - 4 ＞ 0,\end{cases}$或$\begin{cases}m^2 - m - 2 ＜ 0,\\m^2 + 3m - 4 ＜ 0,\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}-1 ＜ m ＜ 2,\\m ＞ 1或m ＜ -4,\end{cases}$或$\begin{cases}-1 ＜ m ＜ 2,\\-4 ＜ m ＜ 1,\end{cases}$，$\therefore m$的取值范围为$(-1,1) \cup (1,2)$.