《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

2.【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下月考) 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 $400$ 米，一艘船从河岸的 $A$ 地出发，向河对岸航行. 已知船在静水中的航行速度 $\boldsymbol{v}_1$ 的大小为 $|\boldsymbol{v}_1| = 6\ km/h$，水流速度 $\boldsymbol{v}_2$ 的大小为 $|\boldsymbol{v}_2| = 2\ km/h$，船的速度与水流速度的合速度为 $\boldsymbol{v}$，那么当航程最短时，下列说法正确的是 (C)

A.船头方向与水流方向垂直
B.$\cos \langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2 \rangle = -\frac{1}{4}$
C.$|\boldsymbol{v}| = 4\sqrt{2}\ km/h$
D.该船到达对岸所需时间为 $3$ 分钟

答案：
2.C[提示:设$A'$是河对岸一点，且$AA'$与河岸垂直，那么当这艘船实际沿$AA'$方向行驶时船的航程最短，由$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2$，得$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{|\boldsymbol{v}_1|^2 - |\boldsymbol{v}_2|^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}\ ( km/h)$，故C正确；设船头方向与$AA'$的夹角为$\theta$，则$\sin\theta = \frac{|\boldsymbol{v}_2|}{|\boldsymbol{v}_1|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，故船头方向与水流方向不垂直，故A错误；$\cos\langle\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\rangle = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta = -\frac{1}{3}$，故B错误；该船到达对岸的时间为$\boldsymbol{t} = \frac{400}{4\sqrt{2}×1000} × 60 \approx 4.2\ ( 分钟)$，故D错误.

]

3.【题型二】已知两个力 $\boldsymbol{F}_1, \boldsymbol{F}_2$ 的夹角为 $90°$，它们的合力大小为 $20\ N$，合力与 $\boldsymbol{F}_2$ 的夹角为 $60°$，那么 $\boldsymbol{F}_2$ 的大小为 (B)

A.$10\sqrt{3}\ N$
B.$10\ N$
C.$10\sqrt{2}\ N$
D.$20\ N$

答案：
3.B[提示:设$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$的对应向量分别为$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，以$OA$，$OB$为邻边作平行四边形$OACB$，如图所示，则$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$对应力$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$的合力.$\because \boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$的夹角为$90°$，$\therefore$四边形$OACB$是矩形，又合力与$\boldsymbol{F}_2$的夹角为$60°$，$\therefore$在$ Rt\triangle OCB$中，$\angle COB = 60°$，$|\overrightarrow{OC}| = 20\ N$，$\therefore |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\cos60° = 20×\frac{1}{2} = 10\ ( N)$.

]

4.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨松雷中学高一下月考) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，$\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{EC}$，$AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$，若 $\overrightarrow{CF} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$，则下面对于 $x, y$ 的描述正确的是 (A)

A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
① $2x + 3y = -1$；
② $2x - 3y = 1$；
③ $x - y = 1$；
④ $x + y = -1$.

答案：
4.A[提示:因为$\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE}$，结合题中等式可得$\overrightarrow{CF} = \boldsymbol{x}(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) - \boldsymbol{y}\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{x}\overrightarrow{CB} - 3(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y})\overrightarrow{CE}$，由$F$，$B$，$E$三点共线，得$\boldsymbol{x} - 3(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = 1$，即$2\boldsymbol{x} + 3\boldsymbol{y} = -1$，故①正确；因为$D$是$BC$的中点，所以$\overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CD}$，可得$\overrightarrow{CF} = 2\boldsymbol{x}\overrightarrow{CD} - (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y})\overrightarrow{CA}$，根据$F$，$D$，$A$三点共线，可得$2\boldsymbol{x} - (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = 1$，即$\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 1$，故③正确；根据①③正确，可知$\boldsymbol{x} = \frac{2}{5}$，$\boldsymbol{y} = -\frac{3}{5}$，故②④不正确.

]

5.【题型一】设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA} +4\overrightarrow{HB} + 5\overrightarrow{HC} = 0$，则 $\cos \angle BHC$ 的值为 (D)

A.$-\frac{\sqrt{30}}{10}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$-\frac{\sqrt{6}}{6}$
D.$-\frac{\sqrt{70}}{14}$

答案： 5.D[提示:由三角形垂心性质得$\overrightarrow{HA}·\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HB}·\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC}·\overrightarrow{HA}$，不妨设$\overrightarrow{HA}·\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HB}·\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC}·\overrightarrow{HA} = \boldsymbol{x}$，$\because 3\overrightarrow{HA} + 4\overrightarrow{HB} + 5\overrightarrow{HC} = \boldsymbol{0}$，$\therefore 3\overrightarrow{HA}·\overrightarrow{HB} + 4\overrightarrow{HB}^2 + 5\overrightarrow{HC}·\overrightarrow{HB} = 0$，$\therefore |\overrightarrow{HB}| = \sqrt{-2\boldsymbol{x}}$，同理可求得$|\overrightarrow{HC}| = \sqrt{\frac{7\boldsymbol{x}}{5}}$，$\therefore \cos\angle BHC = \frac{\overrightarrow{HB}·\overrightarrow{HC}}{|\overrightarrow{HB}|·|\overrightarrow{HC}|} = \frac{\boldsymbol{x}}{\sqrt{-2\boldsymbol{x}}·\sqrt{\frac{7\boldsymbol{x}}{5}}} = \frac{\sqrt{70}}{14}$.]

6. (2025·黑龙江牡丹江市名校协作体高一下月考)
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$G$ 是 $AD$ 的中点，过点 $G$ 作直线分别交 $AB, AC$ 于点 $M,N$，且 $\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AC} = y\overrightarrow{AN}$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 (A)

A.1
B.2
C.4
D.$\sqrt{2}$

答案： 6.A[提示:因为$G$是$AD$的中点，且$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{x}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{y}\overrightarrow{AN}$，所以$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\boldsymbol{x}\overrightarrow{AM} + \boldsymbol{y}\overrightarrow{AN})$.因为$M$，$G$，$N$三点共线，所以$\frac{1}{4}(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = 1$，即$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = 4$，所以$\frac{1}{\boldsymbol{x}} + \frac{1}{\boldsymbol{y}} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\boldsymbol{x}} + \frac{1}{\boldsymbol{y}}\right)(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \frac{1}{4}\left(2 + \frac{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{y}} + \frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right) \geqslant \frac{1}{4}\left(2 + 2\sqrt{\frac{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{y}}·\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}}\right) = 1$，当且仅当$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} = 2$时，等号成立.]

7.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考) 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，$\overrightarrow{DE} =\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，若 $\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BA} + \mu\overrightarrow{BC}$，其中 $\lambda, \mu$ 为实数，则 $\lambda + \mu =$$\frac{5}{3}$；设 $F$ 是线段 $BE$ 上的动点，$G$ 为线段 $AF$ 的中点，则 $\overrightarrow{AF} · \overrightarrow{DG}$ 的最小值为-4.

答案：
7.$\frac{5}{3}$，$-4$[提示:因为$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，因为$\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BA} + \mu\overrightarrow{BC}$，所以由平面向量基本定理可得$\lambda = \frac{2}{3}$，$\mu = 1$，所以$\lambda + \mu = \frac{5}{3}$.因为$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DA}$，$G$为线段$AF$的中点，所以$\overrightarrow{DG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DF})$，又因为$|\overrightarrow{DA}| = 3$，所以$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{DG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DA})(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DF}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}^2 - \overrightarrow{DA}^2) = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{DF}|^2 - 9)$，因为$F$是线段$BE$上的动点，所以$|\overrightarrow{DE}| \leqslant |\overrightarrow{DF}| \leqslant |\overrightarrow{DB}|$，因为正方形$ABCD$的边长为$3$，且$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，所以$|\overrightarrow{DE}| = 1$，所以$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{DG} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{DF}|^2 - 9) \leqslant -4$，所以当点$F$与点$E$重合时，$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{DG}$取得最小值，最小值为$-4$.

]

8.【题型一】在三角形 $ABC$ 中，设点 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $|\overrightarrow{BC}| = 4$，$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$，则 $|\overrightarrow{AM}| =$2.

答案： 8.2[提示:由$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$两边同时平方，得$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} = 0$，即$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$，所以$\angle BAC = 90°$.在$ Rt\triangle ABC$中，因为点$M$是线段$BC$的中点，且$|\overrightarrow{BC}| = 4$，所以$|\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}| = \frac{1}{2}×4 = 2$.]

9.【题型一】$\triangle ABC$ 的内角为 $A, B, C$，$A = \frac{\pi}{2}$，$AB = 1$，$AC = 2$，$BC$ 边上的高为 $AD$.
(1) 用 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$；
(2) 若 $E$ 为 $AC$ 边上一点，且 $\overrightarrow{ED} · \overrightarrow{AD} = \frac{2}{5}$，试确定 $E$ 点的位置，并说明理由.

答案： 9.解:
(1)由题意得$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5}$.因为$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{AB}{BC}$，所以$BD = \frac{AB^2}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.又$BC = \sqrt{5}$，所以$\overrightarrow{BD} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$.
(2)设$\overrightarrow{AE} = \lambda\overrightarrow{AC}$.因为$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} = -\lambda\overrightarrow{AC} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{1}{5} - \lambda\right)\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{ED}·\overrightarrow{AD} = \left[\frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{1}{5} - \lambda\right)\overrightarrow{AC}\right]·\left(\frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{16}{25}\overrightarrow{AB}^2 + \frac{4}{25}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} + \frac{4}{5}\left(\frac{1}{5} - \lambda\right)\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5} - \lambda\right)\overrightarrow{AC}^2 = \frac{16}{25} + \frac{4}{5}\left(\frac{1}{5} - \lambda\right) = \frac{2}{5}$，解得$\lambda = \frac{1}{2}$，故$E$为$AC$的中点.

1. 一物体受到 $3$ 个力的作用，其中重力 $\boldsymbol{G}$ 的大小为 $2\ N$，水平拉力 $\boldsymbol{F}_1$ 的大小为 $1\ N$，力 $\boldsymbol{F}_2$ 未知，则 (AD)

A.当该物体处于平衡状态时，$|\boldsymbol{F}_2| = \sqrt{5}\ N$
B.当 $\boldsymbol{F}_2$ 与 $\boldsymbol{F}_1$ 方向相反，且 $|\boldsymbol{F}_2| = 5\ N$ 时，物体所受合力大小为 $0$
C.当 $|\boldsymbol{F}_2| = 1\ N$ 时，$(\sqrt{5} - 1)\ N \leqslant |\boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + \boldsymbol{G}| \leqslant (\sqrt{5} + 2)\ N$
D.当 $|\boldsymbol{F}_2| = 1\ N$ 时，必存在实数 $\lambda$，使得 $\boldsymbol{G} =\boldsymbol{F}_2 + \lambda\boldsymbol{F}_1$

答案：
1.AD[提示:对于A，当该物体处于平衡状态时，如图
(1)所示，此时$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$的合力大小为$2\ N$，方向与重力方向相反，故$|\boldsymbol{F}_2| = \sqrt{5}\ N$，正确；对于B，当$\boldsymbol{F}_2$与$\boldsymbol{F}_1$方向相反时，且$|\boldsymbol{F}_2| = 5\ N$时，物体所受合力大小为$\sqrt{(5 - 1)^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\ ( N)$，错误；对于C，当$|\boldsymbol{F}_2| = 1\ N$时，设重力$G$与水平拉力$\boldsymbol{F}_1$的合力为$\boldsymbol{F}$，$|\boldsymbol{F}| = \sqrt{5}\ N$，如图
(2)所示，当$\boldsymbol{F}_2$与$\boldsymbol{F}$方向相同时，$|\boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + G|$取得最大值$(\sqrt{5} + 1)\ N$，当$\boldsymbol{F}_2$与$\boldsymbol{F}$方向相反时，$|\boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + G|$取得最小值$(\sqrt{5} - 1)\ N$，故$(\sqrt{5} - 1)\ N \leqslant |\boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + G| \leqslant (\sqrt{5} + 1)\ N$，错误；对于D，当$|\boldsymbol{F}_2| = 1\ N$时，若存在实数$\lambda$，使得$G = \boldsymbol{F}_2 + \lambda\boldsymbol{F}_1$，则$\lambda^2 = (G - \boldsymbol{F}_2)^2 = 4 + 1 - 2×2×1\cos\theta = 5 - 4\cos\theta \in [1,9]$，其中$\theta$为力$G$，$\boldsymbol{F}_2$的夹角，所以存在实数$\lambda$，使得$G = \boldsymbol{F}_2 + \lambda\boldsymbol{F}_1$，故D正确.


]

2. 一个重 $20\ N$ 的物体从倾斜角为 $30°$、斜面长 $1\ m$ 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是10 $J$.

答案： 2.10[提示:物体在重力方向上的位移为$1×\sin30° = \frac{1}{2}\ ( m)$，$\therefore$重力所做功$W = 20×\frac{1}{2} = 10\ ( J)$.]