《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(教材改编题)在下列命题中,不是公理的是 (D)

A.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.平行于同一个平面的两个平面相互平行

答案： 1.D[提示：对于A，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，是公理；对于B，过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，是公理；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，是公理；对于D，平行于同一个平面的两个平面相互平行，不是公理，是面面平行的性质定理.]

2. 下列几何元素可以确定唯一平面的是 (C)

A.三个点
B.圆心和圆上两点
C.梯形的两条边
D.一个点和一条直线

答案： 2.C[提示：根据题意，依次分析各选项：对于A，三个不共线的点才能确定唯一平面，故A错误；对于B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，故B错误；对于C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，故C正确；对于D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，故D错误.]

3. 若点$A$在平面$\alpha$内,直线$l$在平面$\alpha$内,点$A$不在直线$l$上,下列用集合表示这些语句描述中,正确的是 (B)

A.$A \in l$,$l \subset \alpha$且$A \subset \alpha$
B.$A \notin l$,$l \subset \alpha$且$A \in \alpha$
C.$A \not\subset l$,$l \in \alpha$且$A \in \alpha$
D.$A \not\subset l$,$l \subset \alpha$且$A \subset \alpha$

答案： 3.B[提示：因为直线和平面都是由点形成的，所以根据元素与集合的关系知，点A在平面α内表示为A∈α，点A不在直线l上表示为A∉l，根据集合与集合的关系知直线l在平面α内可表示为l⊂α.]

4.(教材改编题)用集合的符号语言表示如图所示的公理:若A∈α，B∈α，则AB⊂α

答案： 4.若A∈α，B∈α，则AB⊂α[提示：用集合的符号语言表示如题图所示的公理为：若A∈α，B∈α，则AB⊂α.]

5. [多选] 已知$A$,$B$,$C$表示不同的点,$l$表示直线,$\alpha$,$\beta$表示不同的平面,则下列推理正确的是 (BCD)

A.$l \not\subset \alpha$,$A \in l \Rightarrow A \notin \alpha$
B.$A \in \alpha$,$A \in \beta$,$B \in \alpha$,$B \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = AB$
C.$A \in l$,$A \in \alpha$,$B \in l$,$B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha$
D.$A \in \alpha$,$A \in l$,$l \not\subset \alpha \Rightarrow l \cap \alpha = A$

答案： 5.BCD[提示：对于A，l⊄α，A∈l，则点A可能在平面α内，也可能不在平面α内，故A错误；对于B，因为α，β表示不同的平面，所以由基本事实3知平面α，β相交，且α∩β=AB，故B正确；对于C，由基本事实2可判断出l⊂α，故C正确；对于D，A∈α，A∈l说明直线与平面有公共点，又l⊄α，所以l∩α=A，故D正确.]

6.(教材改编题)已知$m$,$n$,$l$为三条不同的直线,$\alpha$,$\beta$为两个不同的平面,若$\alpha \cap \beta = l$,$m \subset \alpha$,$n \subset \beta$,且$m$与$n$异面,则 (D)

A.$l$至多与$m$,$n$中的一条相交
B.$l$与$m$,$n$均相交
C.$l$与$m$,$n$均平行
D.$l$至少与$m$,$n$中的一条相交

答案： 6.D[提示：因为m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，又α∩β=l，m⊂α，n⊂β，且m与n异面，所以m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行，若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.]

7. 如图所示的是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线$AB$与$CD$的位置关系为异面.

答案： 7.异面[提示：如图，得到正方体的直观图，故在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面.]

8. 过直线$l$外两点,作与$l$平行的平面,则这样的平面 (D)

A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D. 上述三种情况都存在

答案：
8.D[提示：过直线l外两点作与l平行的平面，若两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；若两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；若两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个.因此只有D正确.]

9. 如果两个平面分别经过两条平行直线中的一条,那么这两个平面 (D)

A.平行
B.相交
C.重合
D.平行或相交

答案： 9.D

10.(教材改编题)如图,在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$O$,$O_1$分别为矩形$ABCD$、矩形$A_1B_1C_1D_1$对角线的交点,则平面$A_1BC_1$与平面$BB_1D_1$的交线为 (C)

A.直线$OO_1$
B.直线$OB_1$
C.直线$O_1B$
D.直线$OD_1$

答案： 10.C[提示：点B是长方体的顶点，显然B∈平面A₁B₁C₁，且B∈平面BB₁D₁，所以B∈平面A₁B₁C₁∩平面BB₁D₁，因为O是矩形A₁B₁C₁D₁的对角线交点，所以O₁∈A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁，所以O₁∈B₁D₁⊂平面BB₁D₁，所以平面A₁B₁C₁∩平面BB₁D₁=O₁B.]

1.【题型一、四】(2025·湖南邵阳海谊中学高下期末)[多选]已知$a$,$b$为不垂直的异面直线,$\alpha$是一个平面,则$a$,$b$在$\alpha$上的射影可能是 (ABD)

A.两条平行直线
B.两条互相垂直的直线
C.同一条直线
D.一条直线及其外一点

答案：
1.ABD[提示：如图，以正方体为例，A₁D₁与BC₁在平面ABCD上的射影互相平行，故A正确；AB₁与BC₁在平面ABCD上的射影互相垂直，故B正确；如果a，b在α上的射影是同一条直线，那么a，b共面，故C不正确.DD₁与BC₁在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，故D正确.]