《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

2.【题型二】(2025·浙江杭州高级中学高三上月考)如图,在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$E$是$AB$的中点,过$B_1$,$D_1$,$E$三点的截面$D_1B_1EF$把平行六面体分成两个部分,则左右两部分体积之比为
(D)

A.$3:4$
B.$5:7$
C.$4:7$
D.$7:17$

答案： 2.D[提示：因为平面ABCD//平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，$且截面$D_{1}B_{1}EF∩$平面ABCD = EF，截面$D_{1}B_{1}EF∩$平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}=B_{1}D_{1}，$设平行六面体的底面面积为2S，高为h，由棱台体积公式，得$V_{左}=\frac{1}{3}(S+\frac{S}{4}+\sqrt{S·\frac{S}{4}})· h=\frac{7}{12}Sh，$所以$V_{右}=2Sh - \frac{7}{12}Sh，$所以$V_{左}:V_{右}=7:17.]$

3.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨三十二中高一下期中)如图,在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的八个顶点中,有四个顶点$A$,$B_1$,$C$,$D_1$恰好是正四面体的顶点,则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为
(D)

A.$\sqrt{3}:1$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6}:2$
D.$1:\sqrt{3}$

答案： 3.D[提示：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是$6a^{2}，$正四面体$A - B_{1}CD_{1}$的棱长为$\sqrt{2}a，$它的表面积是$4×\frac{1}{2}×(\sqrt{2}a)^{2}×\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}a^{2}，$所以正四面体的表面积与正方体的表面积之比为$2\sqrt{3}a^{2}:6a^{2}=1:\sqrt{3}.]$

4.【题型一、二】如图,若正四棱锥$P - ABCD$的底面边长为2,斜高为$\sqrt{5}$,则该正四棱锥的体积为$\frac{8}{3}$,表面积是$4+4\sqrt{5}$.

答案： $4.\frac{8}{3}+4\sqrt{5}[$提示：设该正四棱锥的高为h，
∵正四棱锥的底面边长为2，斜高为$\sqrt{5}，$
∴$h=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}=2，$
∴体积$V=\frac{1}{3}×2^{2}×2=\frac{8}{3}，$表面积$S=2×2 + 2×\sqrt{5}×\frac{1}{2}×4 = 4 + 4\sqrt{5}.]$

5.【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)已知正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的体积是$21\sqrt{3}$,$AC = 6$,$A_1C_1 = 3$,则这个三棱台的高是4

答案： 5.4[提示：根据题意可得上下底面正三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}，$$\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}，$设这个三棱台的高为h，所以这个三棱台的体积为$\frac{1}{3}×(9\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{2})× h = 21\sqrt{3}，$解得h = 4.]

6.【题型二】如图,已知三棱锥$A - BCD$中,$AB = AC = DB = DC = 3$,$AD = BC = 2$,$E$,$F$分别是$BD$,$CD$的中点,$P$是棱$AC$上(除端点外)的动点,则$PD + PB$的最小值为$\sqrt{17}$;当$AP = 2PC$时,三棱锥$P - ABD$的体积为$\frac{4\sqrt{7}}{9}$.

答案：
$6.\sqrt{17} \frac{4\sqrt{7}}{9}[$提示：因为AB = AC =DB = DC = 3,AD = BC = 2，所以将三棱锥的部分侧面展开铺平可得平行四边形ABCD，如图1，
在△ADC中，AD = 2，AC = DC = 3，由余弦定理可得$\cos\angle ADC=\frac{1}{3}，$|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$|$=\sqrt{\overrightarrow{DA}^{2}+\overrightarrow{DC}^{2}+2\overrightarrow{DA}·\overrightarrow{DC}}=\sqrt{17}，$而$PD + PB≥DB=\sqrt{17}，$所以PD + PB的最小值为$\sqrt{17}.$当AP = 2PC时，易知$V_{P - ABD}=\frac{2}{3}V_{C - ABD}.$因为AB = AC = DB = DC = 3,AD = BC = 2，所以可以构造如图2所示的长方体.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则$\begin{cases}a^{2}+c^{2}=DB^{2}=9\\a^{2}+b^{2}=DC^{2}=9\end{cases}，$解得$\begin{cases}a=\sqrt{7}\\b=c=\sqrt{2}\end{cases}，$


所以长方体的长为$\sqrt{7}，$宽和高均为$\sqrt{2}，$观察图形可知，三棱锥C - ABD的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，故$V_{C - ABD}=2\sqrt{7}-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{7}=\frac{2\sqrt{7}}{3}，$$V_{P - ABD}=\frac{2}{3}V_{C - ABD}=\frac{4\sqrt{7}}{9}.]$

7.【题型一】某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的正三棱锥得到的(如图).则该几何体共有14个面;如果被截正方体的棱长是$50\mathrm{cm}$,那么石凳的表面积是$(7500+2500\sqrt{3})$$\mathrm{cm}^2$.

答案： $7.14(7500+2500\sqrt{3})[$提示：由题意知，截去的八个正三棱锥是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是$S_{表}=8×\frac{1}{2}×25\sqrt{2}×25\sqrt{2}×\sin60^{\circ}+6×25\sqrt{2}×25\sqrt{2}=7500+2500\sqrt{3}(cm^{2}).]$

8.【题型二】如图,正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为$a$,过顶点$B$,$D$,$A_1$截下一个三棱锥.
(1)求剩余部分的体积;
(2)求三棱锥$A - A_1BD$的体积及高.

答案： 8.解：
(1)由题意，正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为a，则正方体的体积为$V_{1}=a^{3}，$又三棱锥$A_{1}-ABD$的体积$V_{A_{1}-ABD}=\frac{1}{3}· S_{\triangle ABD}· A_{1}A=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AD×A_{1}A=\frac{1}{6}a^{3}，$所以剩余部分的体积$V = V_{1}-V_{A_{1}-ABD}=a^{3}-\frac{1}{6}a^{3}=\frac{5}{6}a^{3}。$
(2)由
(1)知$V_{A - A_{1}BD}=V_{A_{1}-ABD}=\frac{1}{6}a^{3}，$设三棱锥$A - A_{1}BD$的高为h，$△A_{1}BD$是等边三角形，边长为$\sqrt{2}a，$即$S_{\triangle A_{1}BD}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2}a)^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}，$则$V_{A - A_{1}BD}=\frac{1}{3}· S_{\triangle A_{1}BD}· h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}h=\frac{\sqrt{3}}{6}a^{2}h，$即$\frac{\sqrt{3}}{6}a^{2}h=\frac{1}{6}a^{3}，$解得$h=\frac{\sqrt{3}}{3}a，$故三棱锥$A - A_{1}BD$的体积为$\frac{1}{6}a^{3}，$高为$\frac{\sqrt{3}}{3}a。$

在棱长为$a$的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为
(C)

A.$\frac{a^3}{3}$
B.$\frac{a^3}{4}$
C.$\frac{a^3}{6}$
D.$\frac{a^3}{12}$

答案： C[提示：此八面体可以分割成两个正四棱锥，且正四棱锥的底面是一个边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$的正方形，故该八面体的体积为$2(\frac{1}{3}·\frac{1}{2}a^{2}·\frac{a}{2})=\frac{1}{6}a^{3}.]$