《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.［多选］如图，在三棱锥$P - ABC$中，$E,F,G,H,I,J$分别为棱$PA$，$PB$，$PC$，$AB$，$BC$，$CA$的中点，则下列说法正确的是
(AC)

A.$EJ// FI$
B.$IE// CP$
C.$FH// GJ$
D.$GI// JH$

答案： 1.AC[提示：由题意结合三角形中位线的性质可得FH//PA，GJ//PA，由基本事实4可得FH//GJ，同理可得EJ//PC//FI.]

2.(教材改编题)在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行 .

答案： 2.平行[提示：根据平行公理可知：在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行.]

3.(教材改编题)如果$OA// O^{\prime}A^{\prime}$，$OB// O^{\prime}B^{\prime}$，那么$\angle AOB$和$\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}$
(B)

A.互补
B.可能相等，也可能互补
C.大小无关
D.相等

答案： 3.B[提示：若$\angle AOB$和$\angle A'O'B'$的方向相同，则$\angle AOB = \angle A'O'B'$，若$\angle AOB$和$\angle A'O'B'$的一边方向相反，则$\angle AOB + \angle A'O'B' = \pi$，即$\angle AOB$和$\angle A'O'B'$互补.]

4.［多选］已知$\angle BAC = \angle B_{1}A_{1}C_{1}$，$AB// A_{1}B_{1}$，则$AC$与$A_{1}C_{1}$的位置关系可能是 (ABC)

A.相交
B.异面
C.平行
D.以上均不可能

答案：
4.ABC[提示：如图，$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$，$AB// A_1B_1$，由图可知AC与$A_1C_1$可能平行、相交或异面.]

1.【题型二】已知$AB// PQ$，$BC// QR$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，若$\angle PQR$为钝角，则$\angle PQR$等于
(C)

A.$60^{\circ}$
B.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.以上结论都不对

答案： 1.C[提示：$\because AB// PQ$，$BC// QR$，且$\angle ABC = 60°$，$\therefore \angle PQR = 60°$或$120°$，又$\because \angle PQR$为钝角，$\therefore \angle PQR = 120°$.]

2.【题型一】如图，空间四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相等，顺次连接各边中点$E,F,G,H$，则四边形$EFGH$一定是 (C)

A.矩形
B.正方形
C.菱形
D.空间四边形

答案： 2.C[提示：$\because E,F,G,H$分别为各边的中点，$\therefore EF// AC$，$GH// AC$，$EH// BD$，$FG// BD$，$EF = GH = \frac{1}{2}AC$，$EH = FG = \frac{1}{2}BD$，$\therefore$四边形EFGH是平行四边形，$\because AC = BD$，$\therefore EF = EH$，$\therefore$四边形EFGH是菱形.]

3.【题型一】如图，已知$E,F$分别是正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱$AA_{1}$和棱$CC_{1}$的中点，求证：四边形$EBFD_{1}$是菱形.

答案： 3.证明：取棱$BB_1$的中点G，连接$C_1G$，$EG$，由正方体的性质，得侧面$ABB_1A_1$为正方形.又E，G分别为$AA_1$，$BB_1$的中点，所以$EG = A_1B_1 = C_1D_1$，$EG// A_1B_1// C_1D_1$，从而四边形$EGC_1D_1$为平行四边形，所以$D_1E = C_1G$.又F，G分别为棱$CC_1$，$BB_1$的中点，由侧面$BCC_1B_1$为正方形，知四边形$BGC_1F$为平行四边形，所以$BF// C_1G$，$BF = C_1G$.又$D_1E// C_1G$，$D_1E = C_1G$，由基本事实4可知$D_1E// BF$，$D_1E = BF$，从而四边形$EBFD_1$为平行四边形.由$ABCD - A_1B_1C_1D_1$为正方体，不妨设其棱长为a，易知$BE = BF = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，又四边形$EBFD_1$为平行四边形，所以四边形$EBFD_1$为菱形.

4.【题型一】(教材改编题)如图，空间四边形$ABCD$中，$E,F,G,H$分别为$AB,AD,CB,CD$的中点且$AC = BD$，$AC\bot BD$，试判断四边形$EFHG$的形状，并证明.

答案：
4.解：四边形EFHG为正方形.下面给出证明：$\because E,F,G,H$分别为AB，AD，CB，CD的中点，$\therefore EG$为$\triangle ABC$的中位线，FH为$\triangle ACD$的中位线，$EF$为$\triangle ABD$的中位线，$\therefore EG = FH = \frac{1}{2}AC$，$EF = \frac{1}{2}BD$，且$EG// AC$，$FH// AC$，$EF// BD$，$\therefore EG// FH$，且$EG = FH$，$\therefore$四边形EFHG为平行四边形，又$\because AC = BD$，$EG = \frac{1}{2}AC$，$EF = \frac{1}{2}BD$，$\therefore EF = EG$，$\therefore$四边形EFHG为菱形，$\because AC \perp BD$，且$EG// AC$，$EF// BD$，$\therefore EF \perp EG$，$\therefore$四边形EFHG为正方形.

5.【题型一】如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,N,P,Q$分别为$A_{1}D_{1},D_{1}C_{1},AA_{1},CC_{1}$的中点，求证：$M,N,P,Q$四点共面.

答案： 5.证明：如图，连接$MN$，$PQ$，$A_1C_1$，因为正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$M,N,P,Q$分别为$A_1D_1$，$D_1C_1$，$AA_1$，$CC_1$的中点，所以$PQ// A_1C_1$，$MN// A_1C_1$，所以$MN// PQ$，由平面的基本性质可知，$M,N,P,Q$四点共面.