《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

2.【题型五】已知$\alpha \cap \beta = l$,$A \in \alpha$,$B \in \alpha$,$AB \cap l = D$,$C \in \beta$,$C \notin l$,则平面$ABC$与平面$\beta$的交线是 (C)

A.直线$AC$
B.直线$AB$
C.直线$CD$
D.直线$BC$

答案： 2.C[提示：
∵D∈l，l⊂β，
∴D∈β，又
∵C∈β，
∴CD⊂β，同理CD⊂平面ABC，
∴平面ABC∩平面β=CD.]

3.【题型四】(2025·黑龙江哈尔滨六中高一下期中)如图,在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$M$,$N$,$P$分别是$C_1D_1$,$BC$,$A_1D_1$的中点,有下列三个结论:
①$AP$与$CM$是异面直线;②$AP$,$CM$,$DD_1$相交于一点;③$MN // BD_1$.
其中所有正确结论的序号是 (B)

A.①
B.②
C.①③
D.②③

答案： 3.B[提示：因为MP//AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A₁ADD∩平面C₁CDD₁=DD₁，所以AP，CM，DD₁相交于一点，故①不正确，②正确.
∵AC∩BD=O，因为M，N分别是C₁D₁，BC的中点，所以ON//D₁M//CD，ON=D₁M=1/2CD，所以MNOD₁为平行四边形，所以MN//OD₁，MN不与BD平行，故③不正确.综上所述，②正确.]

4.【题型四】(2025·河北石家庄三十八中、润文高级中学高一下联考)[多选]如图,在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$E$,$F$,$G$,$H$,$M$,$N$分别是棱$AB$,$BC$,$A_1B_1$,$BB_1$,$C_1D_1$,$CC_1$的中点,则下列结论错误的是 (CD)

A.直线$GH$和$MN$平行,$GH$和$EF$异面
B.直线$GH$和$MN$平行,$MN$和$EF$相交
C.直线$GH$和$MN$相交,$MN$和$EF$异面
D.直线$GH$和$EF$异面,$MN$和$EF$异面

答案：
4.CD[提示：如图，因为G，H分别为A₁B₁，B₁B的中点，所以GH//A₁B，同理可证MN//CD，又易知四边形A₁BCD为平行四边形，所以A₁B//CD，所以GH//MN，延长MN交直线DC于点P，因为MC₁//PC，所以∠MC₁N=∠PCN，又因为C₁N=CN，∠MNC₁=∠PNC，所以△MC₁N≌△PCN，所以PC=C₁M，延长EF交DC的延长线于点Q，同理可证QC=BE，因为C₁M=1/2C₁D₁=1/2AB=BE，所以PC=QC，即点P，Q重合，所以MN，EF相交，由异面直线的定义结合图形可知GH，EF异面，故A，B正确，C，D均错误.]

5.【题型二、三】如图,在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$E$为棱$D_1C_1$上靠近$D_1$的三等分点,设$AE$与面$BB_1D_1D$的交点为$O$,则 (B)

A.三点$D_1$,$O$,$B$共线,且$OB = 2OD_1$
B.三点$D_1$,$O$,$B$共线,且$OB = 3OD_1$
C.三点$D_1$,$O$,$B$不共线,且$OB = 2OD_1$
D.三点$D_1$,$O$,$B$不共线,且$OB = 3OD_1$

答案：
5.B[提示：如图，连接AD₁，BC₁，利用推论3可直接证得A，B，C₁，D₁共面，并且由DE//AB且DE=1/3AB，得OD₁=1/3BO，
∴D₁，O，B三点共线，且OB=3OD₁.]

6.【题型二、三】已知正方体$ABCD - A'B'C'D'$的棱长为$2$,$M$,$N$,$P$分别是棱$AA'$,$AB$,$BC$的中点,则平面$MNP$截正方体所得的多边形的周长为 (C)

A.$2\sqrt{2} + \sqrt{6}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{21}$

答案：
6.C[提示：设直线MN与射线B′A′，B′B分别交于I，J，作射线JP分别交CC′，B′C′于G，H，连接IH交A′D′，C′D′于E，F，如图，所以六边形MNPGFE即为平面MNP截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是AA′，AB，BC的中点，易知G，F，E均为中点，所以截面为正六边形，面周长为6√2.]

7.【题型一】直线$AB$,$AD \subset \alpha$,直线$CB$,$CD \subset \beta$,点$E \in AB$,点$F \in BC$,点$G \in CD$,点$H \in DA$,若直线$EH \cap$直线$FG = M$,则点$M$在直线BD上.

答案： 7.直线BD[提示：
∵直线AB，AD⊂α，E∈AB，H∈DA，
∴E∈α，且H∈α，
∴直线EH⊂α，同理可得直线FG⊂β，又
∵直线AB，AD⊂α，直线CB，CD⊂β，
∴α∩β=BD，若直线EH∩直线FG=M，由基本事实3可得M在平面α与平面β的交线BD上.]

8.【题型四】如图,已知长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$.
(1) 直线$A_1B$与直线$D_1C$的位置关系如何?
(2) 直线$A_1B$与直线$B_1C$的位置关系如何?
(3) 直线$D_1D$与直线$D_1C$的位置关系如何?
(4) 直线$AB$与直线$B_1C$的位置关系如何?

答案： 8.解：
(1)由长方体性质可知A₁D₁与BC平行且相等，所以四边形A₁BCD₁是平行四边形，所以直线A₁B与直线D₁C平行.
(2)B₁C⊂平面BCC₁B₁，A₁B交平面BCC₁B₁于B，B∉B₁C，所以直线A₁B与直线B₁C异面.
(3)直线D₁D与直线D₁C交于D₁，所以两条直线相交.
(4)BCC⊂平面BCC₁B₁，AB交平面BCC₁B₁于B，B∉B₁C，所以直线AB与直线B₁C异面.

9.【题型四】如图,已知平面$\alpha$与平面$\beta$相交于直线$l$,$A$,$B$为直线$l$上的两点,在$\alpha$内作直线$AC$,在$\beta$内作直线$BD$,求证:$AC$与$BD$为异面直线.

答案： 9.证明：假设AC与BD共面于平面γ，则A，B，C三点都在平面γ内，又A，B，C三点不共线，且共面于平面α，所以α与γ重合，同理β与γ重合，所以α与β重合，这与α∩β=l矛盾，所以假设不成立，即AC与BD为异面直线.[方法总结] 反证法证明命题的步骤：
(1)假设结论不成立，即结论的否定成立；
(2)根据定义、定理，正确推理，得出矛盾；
(3)说明假设不成立，从而证得原命题的结论成立.