《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

9.【题型一、二】已知点$A(2,3),B(5,4),C(7,10)$.若$AP=AB+\lambda AC(\lambda \in R)$,求$\lambda$满足什么条件时:
(1)点$P$在第一、三象限的角平分线上;
(2)点$P$在第三象限内.

答案： 9.解:设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),因为AP=AB+λAC,且AB与AC不共线,所以$\begin{cases}x-2=3+5λ\\y-3=1+7λ\end{cases}(1)$若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ,解得$λ=\frac{1}{2}.$
(2)若点P在第三象限内,则$\begin{cases}5+5λ＜0\\4+7λ＜0\end{cases},$解得λ＜-1.

10.【题型一、二】已知向量$AB=(\sin \theta,\cos \theta-2\sin \theta),CD=(1,2)$.
(1)已知$C(3,4)$,求$D$点坐标;
(2)若$\theta \neq k\pi+\frac{\pi}{2}$,且$AB // CD$,求$\tan \theta$的值.

答案： 10.解:
(1)设D(x,y),则$CD=(x-3,y-4)=(1,2),\begin{cases}x-3=1\\y-4=2\end{cases},\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases},$
(2)
∵AB//CD,
∴2sinθ=cosθ-2sinθ,4sinθ=cosθ,
∴$tanθ=\frac{1}{4}.$

11.【题型一、二】已知平行四边形$ABCD$的三个顶点分别为$A(-2,-1),B(2,2),C(1,3)$,且$A,B,C,D$按逆时针方向排列.
(1)求点$D$的坐标;
(2)在①$b=AB$,②$b=BC$这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题:
已知$a=(1,2)$,,且$ka+b$与$BD$平行,求$k$的值.

答案： 11.解:
(1)设D(x,y),AB=(2,2)-(-2,-1)=(4,3),DC=(1,3)-(x,y)=(1-x,3-y),因为AB=DC,所以$\begin{cases}1-x=4\\3-y=3\end{cases},$解得$\begin{cases}x=-3\\y=0\end{cases},$故D(-3,0).
(2)选择①,b=(4,3),ka+b=(k,2k)+(4,3)=(k+4,2k+3),BD=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2).由题意得-2(k+4)=-5(2k+3),解得$k=-\frac{7}{8}.$选择②,b=(-1,1),ka+b=(k,2k)+(-1,1)=(k-1,2k+1),BD=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2).由题意得-2(k-1)=-5(2k+1),解得$k=-\frac{7}{8}.$

1. (2025·黑龙江哈尔滨三中高一下月考)已知向量$a=(m,1),b=(3,m)$,若$a // b$,则$m$等于 (C)

A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\pm \sqrt{3}$
D.$0$

答案： 1.C[提示:因为向量a=(m,1),b=(3,m),a//b,所以$\frac{m}{3}=\frac{1}{m}$解得$m=±\sqrt{3}.]$

2. 设向量$a=(1,x-1),b=(x+1,3)$,则“$a$与$b$同向”的充要条件是 (A)

A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x= \pm 2$
D.$x= \frac{1}{2}$

答案： 2.A[提示:
∵向量a=(1,x-1),b=(x+1,3),且a//b,
∴(x-1)(x+1)=3,解得x=±2,当x=2时,a=(1,1),b=(3,3),a,b同向,符合题意;当x=-2时,a=(1,-3),b=(-1,3),a,b反向,舍去,所以“a与b同向”的充要条件是“x=2”.]

3. (2025·湖北孝感高一下期中)已知$A(2,1),B(-3,4)$,点$P$在直线$AB$上,且$|AP|=\frac{2}{3}|PB|$,则点$P$的坐标是$(0,\frac{11}{5})$或$(12,-5)$.

答案： $3.(0,\frac{11}{5})(12,-5)[$提示:因为A(2,1),B(-3,4),点P在直线AB上,且|AP|$=\frac{2}{3}$|PB|,设P(x,y),则AP=(x-2,y-1),PB=(-3-x,4-y),当P在线段AB上时$,AP=\frac{2}{3}PB,$即$\begin{cases}x-2=\frac{2}{3}(-3-x)\\y-1=\frac{2}{3}(4-y)\end{cases}$解得$y=\frac{11}{5},x=0,$即$P(0,\frac{11}{5});$当P在线段BA的延长线上时$,-AP=\frac{2}{3}PB,$即$\begin{cases}-x+2=\frac{2}{3}(-3-x)\\-y+1=\frac{2}{3}(4-y)\end{cases}$解得y=-5,x=12,即P(12,-5).]