《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考)中国古代四大名楼之首的黄鹤楼位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题的《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度 $MN$，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物 $AB$，高约为 $26\ m$，在地面上点 $C$ 处($B,C,N$ 三点共线)测得建筑物顶部 $A$、黄鹤楼顶部 $M$ 的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15^{\circ}$，则黄鹤楼的高度约为 (C)


A.$64\ m$
B.$74\ m$
C.$52\ m$
D.$91\ m$

答案： 1.C[提示:在Rt△ABC中,AC=$\frac{AB}{\sin\angle ACB}$=$\frac{26}{\sin 30°}$,∠ACM = 180° - ∠ACB - ∠MCN = 105°,∠CAM = 15° + 30° = 45°,在△ACM中,∠CMA = 180° - ∠MAC - ∠ACM = 30°,由$\frac{AC}{\sin 30°}$ = $\frac{MC}{\sin 45°}$,得MC = $\frac{AC}{\sin 30°}$·sin 45° = $\frac{26}{\sin^2 30°}$·sin 45° = 52$\sqrt{2}$,在Rt△MNC中,MN = MC·sin 45° = 52 m.]

2.【题型一】某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图所示，若设健身房在 $A$ 处，图书馆在 $B$ 处，为测量 $A$，$B$ 两地之间的距离，甲同学选定了与 $A$，$B$ 不共线的 $C$ 处，构成 $\triangle ABC$，以下是测量数据的不同方案：

①测量 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$；
②测量 $\angle A$，$\angle B$，$BC$；
③测量 $\angle A$，$AC$，$BC$；
④测量 $\angle C$，$AC$，$BC$.
其中要求能唯一确定 $A$，$B$ 两地之间的距离，甲同学应选择的方案的序号为 (C)

A.①②
B.②③
C.②④
D.③④

答案： 2.C[提示:①测量∠A,∠B,∠C,知道三个角度值,三角形有无数多组解，不能唯一确定A,B两地之间的距离;②测量∠A,∠B,BC,已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A,B两地之间的距离;③测量∠A,AC,BC,已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定A,B两地之间的距离;④测量∠C,AC,BC,已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A,B两地之间的距离.综上所述，能唯一确定A,B两地之间的距离的方案的序号是②④.]

3.【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨德强高级中学高一下期中)长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽省黄山市歙县的西干披云峰麓，历经 $900$ 多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔.如图，为测量塔的总高度 $AB$，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$，现测得 $\angle BCD = 30^{\circ}$，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$CD = 32\sqrt{2}\ m$，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$，则塔的总高度为 (D)


A.$(96 - 32\sqrt{6})\ m$
B.$(96 - 32\sqrt{3})\ m$
C.$(96\sqrt{2} - 32)\ m$
D.$(96\sqrt{2} - 32\sqrt{6})\ m$

答案： 3.D[提示:设AB = h,则BC = $\frac{h}{\tan 60°}$ = $\frac{h}{\sqrt{3}}$,且∠CBD = 180° - (30° + 45°),所以sin∠CBD = sin(30° + 45°) = sin 30°cos 45° + cos 30°sin 45° = $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,在△BCD中，由正弦定理得$\frac{CD}{\sin\angle CBD}$ = $\frac{BC}{\sin 45°}$,即$\frac{32\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ = $\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,解得BC = 32($\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$),所以h = $\sqrt{3}$BC = 96$\sqrt{2}$ - 32$\sqrt{6}$.]

4.【题型一】海洋蓝洞是地球上罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$，$B$ 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点 $C$，$D$，测得 $CD = 35\ m$，$\angle ADB = 135^{\circ}$，$\angle BDC = \angle DCA = 15^{\circ}$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，则 $A$，$B$ 两点间的距离为35$\sqrt{5}$ $m$.

答案：
4.35$\sqrt{5}$[提示:如图所示，在△BCD中,CD = 35 m,∠BDC = 15°,∠BCD = ∠ACB + ∠DCA = 120° + 15° = 135°,所以∠CBD = 30°,由正弦定理得$\frac{BD}{\sin 135°}$ = $\frac{35}{\sin 30°}$,解得BD = 35$\sqrt{2}$(m),在△ACD中,CD = 35 m,∠DCA = 15°,∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 135° + 15° = 150°,所以∠CAD = 15°,所以AD = CD = 35 m,在△ABD中,由余弦定理得AB² = AD² + BD² - 2AD·BD·cos∠ADB = 35² + (35$\sqrt{2}$)² - 2×35×35$\sqrt{2}$×cos 135° = 35²×5,所以AB = 35$\sqrt{5}$ m,即A,B两点间的距离为35$\sqrt{5}$ m.]

5.【题型二】高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部 $B$ 在同一水平面内的两个基测点 $C$ 与 $D$.如图所示，现测得 $\angle BCD = 15^{\circ}$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，$CD = 100$ 米，在点 $C$ 处测得大厦顶 $A$ 的仰角 $\angle ACB = 60^{\circ}$，则该大厦高度 $AB =$212 米.(精确到 $1$ 米.
参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)

答案： 5.212[提示:由∠BCD = 15°,∠BDC = 120°,可得∠CBD = 45°,又CD = 100米，由正弦定理可得$\frac{CD}{\sin\angle CBD}$ = $\frac{BC}{\sin\angle BDC}$,即$\frac{100}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,可得BC = 50$\sqrt{6}$米,在Rt△ABC中,∠ACB = 60°,所以AB = BC·tan∠ACB = 50$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$ = 150$\sqrt{2}$ ≈ 150×1.414 ≈ 212(米).]

6.【题型三】目前，中国已经建成全球最大的 $5G$ 网络，无论是大山深处还是平原，处处都能见到 $5G$ 基站的身影.如图(1)所示，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 $5G$ 基站 $AB$，已知基站高 $AB = 50\ m$，该同学眼高 $1.5\ m$(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置 $C$ 处(眼睛所在位置)测得基站底部 $B$ 的仰角为 $37^{\circ}$，测得基站顶端 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$.

(1)求山高 $BE$(结果保留整数).
(2)如图(2)所示，当该同学面向基站 $AB$ 前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置 $C$ 处(眼睛所在位置)到基站 $AB$ 所在直线的距离 $CD = x\ m$，且记在 $C$ 处观测基站底部 $B$ 的仰角为 $\alpha$，观测基站顶端 $A$ 的仰角为 $\beta$，则当 $x$ 多大时，观测基站的视角 $\angle ACB$ 最大？
参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$，$\sin 8^{\circ} \approx 0.14$，$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$，$\sin 45^{\circ} \approx 0.7$，$\sin 127^{\circ} \approx 0.8$.

答案： 6.解:
(1)由题意可知,∠BCD = 37°,∠ACD = 45°,∠ACB = 8°,A = 45°,在△ABC中，$\frac{AB}{\sin\angle ACB}$ = $\frac{BC}{\sin A}$,所以BC ≈ $\frac{50×\frac{\sqrt{2}}{2}}{0.14}$ ≈ 250(m),在Rt△BCD中,BD = BCsin∠BCD ≈ 250×0.6 = 150(m),所以山高BE = 150 + 1.5 ≈ 152(m).
(2)由题意知∠ACD = β,∠BCD = α,且0 ＜ α ＜ β ＜ $\frac{\pi}{2}$,则0 ＜ β - α ＜ $\frac{\pi}{2}$,在Rt△BCD中,tanα = $\frac{BD}{CD}$ = $\frac{150}{x}$,在Rt△ACD中,tanβ = $\frac{AD}{CD}$ = $\frac{200}{x}$,则tan∠ACB = tan(β - α) = $\frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha}$ = $\frac{\frac{200}{x} - \frac{150}{x}}{1 + \frac{200}{x}×\frac{150}{x}}$ = $\frac{\frac{50x}{x^2 + 30000}}{=\frac{50x}{30000 + x^2}}$ ≤ $\frac{50}{2\sqrt{\frac{30000}{x}}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{12}$,当且仅当x = $\frac{30000}{x}$,即x = 100$\sqrt{3}$时,取等号,所以tan∠ACB取得最大值时,x = 100$\sqrt{3}$.又因为0 ＜ ∠ACB ＜ $\frac{\pi}{2}$,所以此时∠ACB最大，即当x = 100$\sqrt{3}$时,∠ACB最大.