《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1. 已知向量$a=(-1,2),b=(0,1)$,则$a-2b$的坐标为 (D)

A.$(-1,1)$
B.$(-2,3)$
C.$(-1,4)$
D.$(-1,0)$

答案： 1.D[提示:a-2b=(-1,2)-2(0,1)=(-1,0).]

2. (2025·黑龙江哈尔滨师大附中高一下月考)已知向量$a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y)$.若$a-2b-c=0$,则$c$等于 (B)

A.$(3,4)$
B.$(13,4)$
C.$(-3,-4)$
D.$(9,8)$

答案： 2.B[提示:
∵a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),
∴a-2b-c=(13-x,4-y)=(0,0),
∴x=13,y=4,
∴c=(13,4).]

3. 已知点$A(1,1),B(4,2)$和向量$a=(2, \lambda)$,且$a // AB$,则实数$\lambda$的值为 (C)

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{3}{2}$

答案： 3.C[提示:根据A,B两点的坐标A(1,1),B(4,2),可得AB=(3,1),
∵a//AB,
∴2×1-3λ=0,解得$λ=\frac{2}{3}.]$

4. (2025·黑龙江哈尔滨松雷中学高一下月考)已知平面向量$a=(-2,3),b=(1,2),AB=a-3b,BC=\lambda a+b$,且$A,B,C$三点共线,则实数$\lambda$等于 (B)

A.$-\frac{2}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$2$

答案： 4.B[提示:AB=a-3b=(-2,3)-3(1,2)=(-5,-3),BC=λa+b=λ(-2,3)+(1,2)=(-2λ+1,3λ+2),因为A,B,C三点共线,所以-5(3λ+2)+3(-2λ+1)=0,解得$λ=-\frac{1}{3}.]$

5. (教材改编题)已知点$A(-1,4),B(3,7),C$是线段$AB$上靠近点$B$的一个三等分点,则点$C$的坐标为 (B)

A.$(\frac{1}{3},6)$
B.$(\frac{5}{3},6)$
C.$(\frac{1}{3},5)$
D.$(\frac{5}{3},5)$

答案： 5.B[提示:因为点A(-1,4),B(3,7),C是线段AB上靠近点B的一个三等分点,所以$AC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}(4,3),$设C(x,y),则AC=(x+1,y-4),所以$\frac{2}{3}(4,3)=(x+1,y-4),$即$\begin{cases}x+1=\frac{8}{3}\\y-4=2\end{cases},$解得$\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=6\end{cases},$即$C(\frac{5}{3},6).]$

1.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨三十二中高一下期中)已知$a=(3,-1),b=(1,2)$,则$a-2b$的坐标是(C)

A.$(2,-3)$
B.$(4,1)$
C.$(1,-5)$
D.$(5,3)$

答案： 1.C[提示:因为a=(3,-1),b=(1,2),所以a-2b=(3,-1)-(2,4)=(1,-5).]

2.【题型三】已知$P_1(1,-2),P_2(0,3)$,且点$P$在线段$P_2P_1$的延长线上$,PP_1=-\frac{1}{2}PP_2$,则点$P$的坐标为 (D)

A.$(2,7)$
B.$(-\frac{7}{5},\frac{21}{5})$
C.$(-2,17)$
D.$(2,-7)$

答案： 2.D[提示:设点P(x,y),则$P_1P=(x-1,y+2),PP_2=(-x,3-y).$因为$P_1P=-\frac{1}{2}PP_2,$所以$(x-1,y+2)=-\frac{1}{2}(-x,3-y),$解得$\begin{cases}x-1=\frac{1}{2}x\\y+2=-\frac{1}{2}(3-y)\end{cases},$即$\begin{cases}x=2\\y=-7\end{cases},$即点P(2,-7).]

3.【题型二】(2025·黑龙江佳木斯八中高一下月考)已知向量$a=(2,-1),b=(k,2)$.若$a // b$,则$k$等于 (C)

A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$

答案： 3.C[提示:
∵a//b,
∴4+k=0,
∴k=-4.]

4.【题型二】(2025·吉林长春八中高一下月考)已知向量$AB=(7,6),BC=(-3,m),AD=(-1,2m)$,若$A,C,D$三点共线,则$m$等于 (D)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$-\frac{2}{3}$

答案： 4.D[提示:AC=AB+BC=(4,6+m),AD=(-1,2m),
∵A,C,D三点共线,
∴4×2m-(-1)(6+m)=0,解得$m=-\frac{2}{3}.]$

5.【题型三】[多选]已知在平面直角坐标系中,点$P_1(0,1),P_2(4,4)$.当$P$是线段$P_1P_2$的一个三等分点时,点$P$的坐标为 (AD)

A.$(\frac{4}{3},2)$
B.$(\frac{4}{3},3)$
C.$(2,3)$
D.$(\frac{8}{3},3)$

答案： 5.AD[提示:在平面直角坐标系中,点$P_1(0,1),P_2(4,4).$当P是线段$P_1P_2$的一个三等分点时,设点P(x,y).①当P为靠近$P_1$的三等分点时,根据定比分点坐标公式可知$x=\frac{(3-1)×0+1×4}{3}=\frac{4}{3},y=\frac{(3-1)×1+1×4}{3}=2,$故$P(\frac{4}{3},2),A$正确;
②当P为靠近$P_2$的三等分点时,根据定比分点坐标公式可知$x=\frac{(3-2)×0+2×4}{3}=\frac{8}{3},y=\frac{(3-2)×1+2×4}{3}=3,$故$P(\frac{8}{3},3),D$正确.]

6.【题型二】[多选]已知向量$OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2)$,若点$A,B,C$能构成三角形,则实数$m$可以是 (ABD)

A.$-2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$-1$

答案： 6.ABD[提示:因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,解得m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点均可构成三角形.]

7.【题型三】已知点$A(2,3),B(6,-3)$,若点$P$满足$AB=3AP$,则点$P$的坐标为$(\frac{10}{3},1)$.

答案： $7.(\frac{10}{3},1)[$提示$:AB=3AP,AP=\frac{1}{3}AB,$即$λ=\frac{1}{3}.$设点P的坐标是(x,y),由定比分点坐标公式可知$x=(1-λ)x_A+λx_B=(1-\frac{1}{3})×2+\frac{1}{3}×6=\frac{10}{3};y=(1-λ)y_A+λy_B=(1-\frac{1}{3})×(-3)+\frac{1}{3}×3=1,$故点P的坐标为$(\frac{10}{3},1).]$

8.【题型一、二】(2025·吉林四平第一高级中学高一下月考)已知平面向量$a,b,a=(1,2)$.
(1)若$b=(0,1)$,求$a+2b$的坐标和$|a+2b|$的值;
(2)若$b=(2,m),a$与$a-b$共线,求实数$m$的值.

答案： 8.解:
(1)a+2b=(1,2)+(0,2)=(1,4),
∴|a+2b|$=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}.$
(2)a-b=(-1,2-m),
∵a与a-b共线,
∴2-m+2=0,解得m=4.