《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(2025·黑龙江大庆市实验中学模拟)如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是 (B)


A.众数=平均数=中位数
B.众数＜中位数＜平均数
C.众数＜平均数＜中位数
D.中位数＜平均数＜众数

答案： 1.B[提示:由频率分布直方图可知,数据组成的众数为左起第2个小矩形下底边中点值;过该中点垂直于横轴的直线的左侧的矩形面积和小于0.5,则众数＜中位数;由频率分布直方图呈现“右拖尾”形态，得中位数＜平均数.所以众数＜中位数＜平均数.]

2.(教材改编题)某地区100位居民的人均月用水量(单位：$t$)的分组及各组的频数如下：
$[0,0.5),4$；$[0.5,1),8$；$[1,1.5),15$；$[1.5,2),22$；$[2,2.5),25$；$[2.5,3),14$；$[3,3.5),6$；$[3.5,4),4$；$[4,4.5],2$.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3ｔ的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？

答案：
2.解:
(1)样本的频率分布表如下:
分组 频数 频率
[0,0.5) 4 0.04
[0.5,1) 8 0.08
[1,1.5) 15 0.15
[1.5,2) 22 0.22
[2,2.5) 25 0.25
[2.5,3) 14 0.14
[3,3.5) 6 0.06
[3.5,4) 4 0.04
[4,4.5] 2 0.02
合计 100 1.00
(2)由频率分布表画出频率分布直方图如图所示.由频率分布直方图得这组数据的平均数为$\bar{x}=0.25×0.04 + 0.75×0.08 + 1.25×0.15 + 1.75×0.22 + 2.25×0.25 + 2.75×0.14 + 3.25×0.06 + 3.75×0.04 + 4.25×0.02 = 2.02$.
∵[0,2)的频率为0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.22 = 0.49，[2,2.5)的频率为0.25，
∴中位数为$2+\frac{0.5 - 0.49}{0.25}×0.5 = 2.02$，众数为$\frac{2 + 2.5}{2}=2.25$.
(3)人均月用水量在3t以上的居民的比例为6% + 4% + 2% = 12%，即大约是有12%的居民人均月用水量在3t以上，88%的居民人均月用水量在3t以下，故政府的解释是正确的

1.(2025·湖南长沙雅礼中学高一下期末)数据12,12,12,14,15的平均数与众数的差为 (B)

A.2
B.1
C.-1
D.-2

答案： 1.B[提示:平均数为$\frac{12 + 12 + 12 + 14 + 15}{5}=13$，众数为12，所以平均数与众数的差为1.]

2.(2025·湖北武汉高三调研)将某批产品检验后的评分结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是 (C)


A.$a=0.05$
B.评分的众数估值为70
C.评分的第25百分位数估值为67.5
D.评分的平均数估值为76

答案： 2.C[提示:根据题意可得$(2a + 4a + 6a + 5a + 3a)×10 = 1$，解得$a = 0.005$，故A错误;评分的众数估值为$\frac{70 + 80}{2}=75$，故B错误;因为前2组的频率依次为0.1,0.2，所以评分的第25百分位数估值为$60+\frac{0.25 - 0.1}{0.02}=67.5$，故C正确;评分的平均数估值为$55×0.1 + 65×0.2 + 75×0.3 + 85×0.25 + 95×0.15 = 76.5$，故D错误.]

3.已知样本的各个个体的值由小到大依次为$1,4,4,7,a,b,12,13,19,20(a,b \in \mathbf{N})$，且样本的中位数为11，则样本的平均数为10.2.

答案： 3.10.2[提示:因为样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a，b，12，13，19，20(a，b∈N)，且样本的中位数为11，所以$\frac{a + b}{2}=11$，解得a + b = 22，则样本平均数为$\frac{1 + 4 + 4 + 7 + a + b + 12 + 13 + 19 + 20}{10}=\frac{102}{10}=10.2$.]

4.从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下(单位：$cm$，数据间无大小顺序要求)：152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,$x$,174,175.
(1)若$x$为这组数据的一个众数，求$x$的取值集合；
(2)若样本数据按顺序排列，第90百分位数是173，求$x$的值；
(3)若$x=174$，试估计该校高一年级新生的平均身高.

答案： 4.解:
(1)若x为这组数据的一个众数，则x的可能取值为164，168，165，170，即x的取值集合为{164,168,165,170}.
(2)因为样本数据的第90百分位数是173,20×90% = 18，所以x的值为172.
(3)若x = 174，则该校高一年级新生的平均身高为$\frac{1}{20}(152 + 155 + 158 + 164 + 164 + 165 + 165 + 165 + 166 + 167 + 168 + 168 + 169 + 170 + 170 + 170 + 171 + 174 + 174 + 175)=166.5$(cm).