《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(2025·黑龙江佳木斯八中高一下月考)对于物理量:①路程;②时间;③速度;④体积;⑤长度;⑥重力.以下说法正确的是 (D)

A.①②④是数量，③⑤⑥是向量
B.①④⑤是数量，②③⑥是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

答案： 1.D[提示：速度、重力既有大小又有方向，是向量；路程、时间、体积、长度只有大小，没有方向，是数量.]

2.(教材改编题)选择适当的比例尺,用有向线段表示下列向量.
(1)终点A在起点O的正东方向3 m处;
(2)终点B在起点O的正西方向3 m处;
(3)终点C在起点O的东北方向4 m处;
(4)终点D在起点O的西南方向2 m处.

答案：
2.解：如图所示，则$\vert\overrightarrow{OA}\vert = 3$，$\vert\overrightarrow{OB}\vert = 3$，$\vert\overrightarrow{OC}\vert = 4$，$\vert\overrightarrow{OD}\vert = 2$.

3.“$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B[提示：由于$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\Rightarrow\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$，且$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert\not\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，所以“$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件.]

4. 在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且$\angle OCB = 30°$,$|\overrightarrow{AB}| = 2$,则$|\overrightarrow{AC}|$等于
(A)

A.1　　
B.$\sqrt{2}$　　
C.$\sqrt{3}$　　
D.2

答案： 4.A[提示：由$\vert\overrightarrow{OC}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert$得$\angle ABC = \angle OCB = 30^{\circ}$.因为$C$为半圆上的点，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert = 1$.]

5.［多选］如图所示,在四边形ABCD中,若$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$,则图中相等的向量为　　　　(AD)

A.$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OD}$
C.$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$
D.$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{OC}$

答案： 5.AD[提示：由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，故$A$正确；由平行四边形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$互相平分，得$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$，故$B$错误，$D$正确；显然$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$方向不同，不是相等向量，故$C$错误.]

6.(教材改编题)如图,A,B,C是以O为圆心的圆上的三个点,则向量$\overrightarrow{BO}$,$\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OA}$是 (B)


A.有相同起点的向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.相等的向量

答案： 6.B[提示：因为$A,B,C$是以$O$为圆心的圆上的三个点，所以$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{OC}\vert$，故向量$\overrightarrow{BO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}$是模相等的向量.]

7.下列命题:
①若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$;
②$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$的充要条件是$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$且$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$;
③若$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$,则$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{c}$;
④若A,B,C,D是不共线的四点,则$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
其中真命题的个数是　　　　(B)

A.0　　
B.1　　
C.2　　
D.3

答案： 7.B[提示：对于①，$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$，但$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$方向不一定相同，故①错误；对于②，当$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$时，也满足$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$，且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，故②错误；对于③，当$\boldsymbol{b}=0$时，满足$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，但$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$不一定成立，故③错误；对于④，若$A,B,C,D$是不共线的四点，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$是四边形$ABCD$为平行四边形的充要条件，故④正确.
综上，真命题的个数是1.]