《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

10.【题型一】已知向量$m = (\cos A,\sin B)$,$n = (\cos B,-\sin A)$,$m · n = \cos 2C$,其中$A,B,C$为$\triangle ABC$的内角，$a,b,c$为角$A,B,C$所对的边.
(1)求$C$;
(2)若$2c = a + b$,且$ab\cos C = 18$,求$c$.

答案： 10.解：
(1)因为$\boldsymbol{m}=(\cos A,\sin B)$，$\boldsymbol{n}=(\cos B,-\sin A)$，$\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}=\cos2C$，即$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos2C$，可得$\cos(A + B)=2\cos^{2}C - 1$，在$\triangle ABC$中，$-\cos C = 2\cos^{2}C - 1$，即$2\cos^{2}C+\cos C - 1 = 0$，解得$\cos C=\frac{1}{2}$或$\cos C = - 1$(舍去)，解得$C=\frac{\pi}{3}$.
(2)因为$2c = a + b$，可得$4c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=3c^{2}-2ab$，而由余弦定理可得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ab\cos C$，因为$ab\cos C = 18$，由
(1)可得$\cos C=\frac{1}{2}$，所以$ab = 36$，所以$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2×18 = 36$，即$c^{2}=36$，所以$c = 6$.

11.【题型一】在$\triangle ABC$中，$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且满足$c - 4b\cos^2\frac{B + C}{2} + 2b = 0$.
(1)求证$c + 2b\cos A = 0$;
(2)求$\tan C$的最大值.

答案： 11.
(1)证明：$\because c - 4b\cos^{2}\frac{B + C}{2}+2b = 0$，$\therefore c - 2b·2\cos^{2}\frac{B + C}{2}+2b = 0$，$\therefore c - 2b\cos(B + C)=0$，又在$\triangle ABC$中，$\cos(B + C)=\cos(\pi - A)=-\cos A$，$\therefore c + 2b\cos A = 0$.
(2)解：由余弦定理可知$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\therefore c + 2b×\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=0$，即$2c^{2}+b^{2}-a^{2}=0$，求$\tan C$的最大值只需求$\cos C$的最小值，$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-\frac{a^{2}-b^{2}}{2}}{2ab}=\frac{a}{4b}+\frac{3b}{4a}\geq2\sqrt{\frac{a}{4b}×\frac{3b}{4a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$a=\sqrt{3}b$时等号成立，故$\tan C$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.