《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(教材改编题)$(2+i)(3-4i)$等于 (D)

A.$2 + 5i$
B.$2 - 5i$
C.$10 + 5i$
D.$10 - 5i$

答案： 1.D[提示：$(2+i)(3-4i)=6-8i+3i-4i^{2}=6-5i+4=10-5i.]$

2.(教材改编题)设$a \in \mathbf{R}$,若$(a - 2i)(1 + i)$为纯虚数(i为虚数单位)，则$a =$-2.

答案： 2.-2[提示：由(a-2i)(1+i)=a+2+(a-2)i 为纯虚数，得$\begin{cases}a + 2 = 0, \\a - 2\neq 0,\end{cases}$即 a = - 2.]

3.计算下列各题.
(1)$(1 - i)(1 + i) + (2 + i)^{2}$;
(2)$(2 - i)( - 1 + 5i)(3 - 4i) + 2i$.

答案： 3.解：$(1)(1 - i)(1 + i)+(2 + i)^{2}=2 + 4 - 1 + 4i = 5 + 4i. (2)(2 - i)(-1 + 5i)(3 - 4i)+2i=(3 + 11i)(3 - 4i)+2i=53 + 21i + 2i = 53 + 23i.$

4.已知复数$z = (1 + ai)(1 + i) + 2 + 4i(a \in \mathbf{R})$.
(1)若$z$在复平面内所对应的点在直线$x - y = 0$上,求$a$的值;
(2)求$|z - 1|$的取值范围.

答案： 4.解：
(1)化简 z=(1 + ai)(1 + i)+2 + 4i=(3 - a)+(a + 5)i，所以 z 在复平面内所对应的点的坐标为(3 - a,a + 5)，该点在直线 x - y = 0 上，所以 3 - a-(a + 5)=0，解得 a = - 1.
(2)$\vert z - 1\vert=\vert(2 - a)+(a + 5)i\vert=\sqrt{(2 - a)^{2}+(a + 5)^{2}}=\sqrt{2a^{2}+6a + 29}$，因为 a∈R，所以$2a^{2}+6a + 29\geqslant\frac{49}{2}$，所以$\vert z - 1\vert=\sqrt{2a^{2}+6a + 29}\geqslant\frac{7\sqrt{2}}{2}$，所以$\vert z - 1\vert$的取值范围为$[\frac{7\sqrt{2}}{2},+\infty)$

5.(教材改编题)若复数$z$满足$z(3 + 4i) = 1 - i$,则$z$等于(A)

A.$ - \frac{1}{25} - \frac{7}{25}i$
B.$ - \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$
C.$\frac{7}{25} + \frac{1}{25}i$
D.$\frac{7}{5} + \frac{1}{5}i$

答案： 5.A[提示：$\because$z(3 + 4i)=1 - i,$\therefore z=\frac{1 - i}{3 + 4i}=\frac{(1 - i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}=-\frac{1}{25}-\frac{7}{25}i.$]

6.若复数$z$满足$z = \frac{2 + i}{1 - i}$,则复数$z$在复平面内对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 6.A[提示：依题意,$z=\frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{1 + 3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$，复数 z 对应的点的坐标是$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，所以复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限.]

7.已知复数$z = \frac{3 - 4i}{2 - i}$,则$\overline{z}$的虚部是(D)

A.$- i$
B.$- 1$
C.$i$
D.$1$

答案： 7.D[提示：由题意,$z=\frac{3 - 4i}{2 - i}=\frac{(3 - 4i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)}=\frac{6 + 8 - 3i + 4i}{5}=2 - i$，故 z = 2 + i,$\overline{z}$的虚部是 1.]

8.(教材改编题)若$1 + 2i$是关于$x$的实系数方程$x^{2} + bx + c = 0$的一个复数根,则(B)

A.$b = 2,c = 3$
B.$b = - 2,c = 5$
C.$b = - 2,c = - 1$
D.$b = 2,c = - 1$

答案： 8.B[提示：$\because1 + 2i $是关于 x 的实系数方程$x^{2}+bx + c = 0$的一个复数根，$\therefore1 - 2i $是关于 x 的实系数方程$x^{2}+bx + c = 0$的另一个复数根，$\therefore\begin{cases}1 + 2i + 1 - 2i = - b, \1 + 2i)(1 - 2i)=c,\end{cases}$解得 b = - 2,c = 5.]

9.(教材改编题)已知复数$z$满足$z - i$和$\frac{z}{2 + i}$均为实数.
(1)求复数$z$;
(2)若$z$是关于$x$的方程$x^{2} + px + q = 0$的一个根,求实数$p,q$的值.

答案： 9.解：
(1)设 z = a + bi(a,b∈R)，则 z - i = a + (b - 1)i，$\frac{z}{2 + i}=\frac{a + bi}{2 + i}=\frac{(a + bi)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{2a + b}{5}+\frac{2b - a}{5}i$，由 z - i 和$\frac{z}{2 + i}$均为实数，得$\begin{cases}b - 1 = 0,\frac{2b - a}{5}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1.\end{cases}z = 2 + i$.
(2)由
(1)知 z = 2 + i，又 z 是关于 x 的方程$x^{2}+px + q = 0$的一个虚根，$\therefore\overline{z}=2 - i$是方程$x^{2}+px + q = 0$的另一个虚根，$\therefore\begin{cases}-p = 2 + i + 2 - i,\\q=(2 + i)(2 - i),\end{cases}$即 p = - 4,q = 5.