《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

4.【题型一、二】(2025·河南许昌市部分校高一下期中)$P$是$\triangle ABC$所在平面上一点,满足$|\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}| - |\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PA}| = 0$,则$\triangle ABC$的形状是
(B)

A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

答案： 4.B[提示:$\because P$是$\triangle ABC$所在平面上一点，且$|\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}|-|\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PA}|=0$，$\therefore |\overrightarrow{CB}|-|(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})+(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})|=0$，即$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$，$\therefore |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}|$，$\therefore$以$AB$和$AC$为一组邻边的平行四边形的对角线长度相等，$\therefore$该平行四边形为矩形，$\therefore \angle BAC = 90^{\circ}$，故$\triangle ABC$是直角三角形。]

5.【题型一】[多选]已知$A,B,C$为三个不共线的点,$P$为$\triangle ABC$所在平面内一点,若$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{AB}$,则点$P$与$\triangle ABC$的位置关系是
(BD)

A.点$P$在$\triangle ABC$内部
B.点$P$在$\triangle ABC$外部
C.点$P$在直线$AB$上
D.点$P$在直线$AC$上

答案：
5.BD[提示:$\because \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{AB}$，$\therefore \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}$。如图所示，以$CA$，$CB$为邻边作平行四边形$CADB$，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$，延长$CA$到点$P$，使得$AP = CA$，则$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$，$\therefore$点$P$在$AC$边所在的直线上，点$P$在$\triangle ABC$外部。]

6.【题型二】(2025·黑龙江齐齐哈尔市联谊校高一下期中)[多选]关于向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$,下列说法正确的是
(AB)

A.$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$
B.若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$,则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
C.若$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$
D.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$,则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$

答案： 6.AB[提示:$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$，当且仅当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$方向相同时等号成立，A正确；当$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$时，$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的模相等，方向相同，所以$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，B正确；$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$无法比较大小，C错误；若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$时，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$可能不共线，D错误。]

7.【题型一、二】已知正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$,则$|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}|$等于
(D)

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.4
D.6

答案： 7.D[提示:由向量加法的平行四边形法则可知$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$，$\therefore |\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}|=|3\overrightarrow{AC}|$，又$\because$正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$，$\therefore |\overrightarrow{AC}|=2$，$\therefore |3\overrightarrow{AC}|=6$。]

8.【题型一】如图所示，在正六边形$ABCDEF$中,$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}+2\overrightarrow{AB}=$0
.

答案： 8.0[提示:正六边形$ABCDEF$中，$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AF}+(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED})+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DF}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CF}+2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AB}=0$。]

9.【题型一、二】已知点$M$在直线$BC$上,点$A$在直线$BC$外,若$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$,且$|\overrightarrow{AB}| = 4$,$|\overrightarrow{AC}| = 2$,则$|\overrightarrow{AM}|$的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
.

答案：
9.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$[提示:如图所示，当$AM\perp BC$时，$|\overrightarrow{AM}|$最小，由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，可知以$AB$和$AC$为邻边的平行四边形的两条对角线长度相等，$\therefore$设第四个顶点为$D$，则平行四边形$ABDC$为矩形，即$AB\perp AC$，$\therefore |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，$\therefore$当$AM\perp BC$时，由面积法得$2\sqrt{5}|\overrightarrow{AM}|=2×4$，解得$|\overrightarrow{AM}|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\therefore |\overrightarrow{AM}|$的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。]

10.【题型一、二】已知单位向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$60°$,则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =$1
.

答案： 10.1[提示:$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{1-2×1×1×\cos60°+1}=\sqrt{1-1+1}=1$。]

11.【题型二】已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为非零向量,则下列说法正确的是.(填序号)
①若$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相同;
②若$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反;
③若$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的模相等;
④若$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相同.

答案： 11.①②④[提示:当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$方向相同时，有$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$；当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$方向相反时，有$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，因此①②④正确。]

12.【题型一】如图所示，已知$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,$\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{d}$,$\overrightarrow{OE}=\boldsymbol{e}$,$\overrightarrow{OF}=\boldsymbol{f}$,用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}$,$\boldsymbol{e},\boldsymbol{f}$表示$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}$,$\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{OD}$.

答案： 12.解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{e}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{d}$。

13.【题型一、二】如图所示，已知在矩形$ABCD$中,$|\overrightarrow{AD}| = 4\sqrt{3}$,$|\overrightarrow{AB}| = 8$.设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{c}$,求$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|$.

答案：
13.解：如图所示，作$BB^{\prime}=AB$，$DD^{\prime}=AD$，连接$B^{\prime}D^{\prime}$，则$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\overrightarrow{BD^{\prime}}$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}-\overrightarrow{BD^{\prime}}=\overrightarrow{BB^{\prime}}-\overrightarrow{BD^{\prime}}=\overrightarrow{D^{\prime}B^{\prime}}$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=|\overrightarrow{D^{\prime}B^{\prime}}|=\sqrt{(2×4\sqrt{3})^{2}+(2×8)^{2}}=8\sqrt{7}$。

1. 已知非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{7}+1$,$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{7}-1$,且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 4$,则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| =$4
.

答案：
1.4[提示:如图所示，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$|\overrightarrow{BA}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$。以$OA$，$OB$为邻边作平行四边形$OACB$，则$|\overrightarrow{OC}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$。由于$(\sqrt{7}+1)^{2}+(\sqrt{7}-1)^{2}=4^{2}$，故$|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OB}|^{2}=|\overrightarrow{BA}|^{2}$，所以$\triangle OAB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$，从而$OA\perp OB$，所以平行四边形$OACB$是矩形。根据矩形的对角线相等得$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{BA}|=4$，即$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=4$。]

2. 已知非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$\frac{|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|} =$$\sqrt{3}$
.

答案：
2.$\sqrt{3}$[提示:如图所示，在平行四边形$OACB$中，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$。$\because |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=1$，$\therefore \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$，$\therefore \triangle OAB$为正三角形。设其边长为$1$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{BA}|=1$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore \frac{|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。]