《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

9.【题型一、二、三、四、五】[多选]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,3)$，$\boldsymbol{b}=(2,-4)$，则下列结论正确的是 (AB)

A.$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$
B.向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$
C.$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{10}$
D.向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$方向上的投影向量是$(1,3)$

答案： 9.AB[提示:$\because\overrightarrow{a}=(1,3),\overrightarrow{b}=(2,-4)$，$\therefore\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,-1)$，而$1×3+3×(-1)=0$，$\therefore(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$，故A正确；$\because\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{10}$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=2\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=-10$，$\therefore\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{-10}{\sqrt{10}×2\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\in[0,\pi]$，$\therefore$向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$，故B正确；$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,6)+(2,-4)=(4,2)$，则$\vert2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$，故C错误；向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}·\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}=(-1,-3)$，故D错误.]

10.【题型一、四】(2025·黑龙江牡丹江市名校协作体高一下月考)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,k)$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角

为

钝角，则实数$k$的取值范围是$(-\infty,-2)$

答案： 10.$(-\infty,-2)$[提示:根据题意，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}＜0$且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，即$\begin{cases}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=2 + k＜0\\2k\neq1\end{cases}$，解得$k＜-2$，故$k$的取值范围为$(-\infty,-2)$.]

11.【题型一、二、五】(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考)已知向量$\boldsymbol{a}=(x,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,$ $y)$，$\boldsymbol{c}=(1,-2)$，且$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$，则$x+y=$0

答案： 11.0[提示:因为$\overrightarrow{a}=(x,2),\overrightarrow{c}=(1,-2)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}$，可得$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=x - 4 = 0$，解得$x = 4$.又$\overrightarrow{b}=(2,y),\overrightarrow{c}=(1,-2)$，且$\overrightarrow{b}//\overrightarrow{c}$，所以$y-(-4)=0$，解得$y = -4$，从而$x + y = 4+(-4)=0$.]

12.【题型一、四、五】在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，$A(1,1)$，$B(2,-3)$.
(1) 若$\overrightarrow{OA} \perp (\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB})$，求实数$\lambda$的值；
(2) 设$C(-6,k)$，若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$的夹角为钝角，求实数$k$的取值范围.

答案： 12.解:
(1)因为$\overrightarrow{OA}=(1,1),\overrightarrow{AB}=(1,-4)$，所以$\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB}=(1+\lambda,1 - 4\lambda)$，因为$\overrightarrow{OA}\perp(\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB})$，所以$\overrightarrow{OA}·(\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB})=0$，即$1+\lambda+1 - 4\lambda=0$，解得$\lambda=\frac{2}{3}$.
(2)因为$\overrightarrow{AB}=(1,-4)$，$\overrightarrow{BC}=(-8,k + 3)$，且$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$的夹角为钝角，所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}＜0$，即$-8-4(k + 3)＜0$，解得$k＞-5$，当$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为$180^{\circ}$时，$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{BC}$，则$\frac{-8}{1}=\frac{k + 3}{-4}$，解得$k = 29$，故实数$k$的取值范围是$(-5,29)\cup(29,+\infty)$.

13.【题型一、四】在平面直角坐标系$xOy$中，已知$A(1,5)$，$B(7,1)$，$C(1,2)$.
(1) 若四边形$ABCD$为平行四边形，求$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DB}$夹角的余弦值；
(2) 若$M$，$N$分别是线段$AC$，$BC$的中点，点$P$在线段$MN$上运动，求$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB}$的最大值.

答案：
13.解:
(1)因为四边形$ABCD$为平行四边形，$\overrightarrow{AC}=(0,-3),\overrightarrow{BA}=(-6,4)$，$\overrightarrow{BC}=(-6,1)$，所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=(-6,4)+(-6,1)=(-12,5)$，$\overrightarrow{DB}=(12,-5)$，所以$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DB}$夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{DB}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert·\vert\overrightarrow{DB}\vert}=\frac{15}{3×13}=\frac{5}{13}$.
(2)如图所示，因为$M,N$分别是线段$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$的中点，所以$M(1,3.5),N(4,1.5)$，设$P(x,y)$，$\overrightarrow{MP}=\lambda\overrightarrow{MN}$，$\lambda\in[0,1]$，则$(x - 1,y - 3.5)=\lambda(3,-2)$，解得$P(1 + 3\lambda,3.5 - 2\lambda)$，$\overrightarrow{PA}=(-3\lambda,\frac{3}{2}+2\lambda)$，$\overrightarrow{PB}=(6 - 3\lambda,2\lambda - 2.5)$，$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=-3\lambda(6 - 3\lambda)+(\frac{3}{2}+2\lambda)(2\lambda - 2.5)=13\lambda^{2}-20\lambda-\frac{15}{4}$，$\lambda\in[0,1]$，当$\lambda = 0$时，$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}$取得最大值，最大值为$-\frac{15}{4}$.

1. [多选]已知向量$\overrightarrow{OA}=(3,-4)$，$\overrightarrow{OB}=(6,$$-3)$，$\overrightarrow{OC}=(5-m,-3-m)$，若$\angle ABC$为锐角，则实数$m$可能的取值是 (BD)

A.$-1$　
B.$0$　
C.$\frac{1}{2}$　
D.$1$

答案： 1.BD[提示:因为$\overrightarrow{OA}=(3,-4),\overrightarrow{OB}=(6,-3),\overrightarrow{OC}=(5 - m,-3 - m)$，所以$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(-3,-1),\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-1 - m,-m)$.因为$\angle ABC$为锐角，所以$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=(-3,-1)·(-1 - m,-m)=3 + 3m + m＞0$，解得$m＞-\frac{3}{4}$.当$\overrightarrow{BA}//\overrightarrow{BC}$时，$(-3)×(-m)-(-1 - m)×(-1)=0$，解得$m=\frac{1}{2}$.当$\angle ABC$为锐角时，实数$m$的取值范围是$(-\frac{3}{4},\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，所以实数$m$可能的取值是$0,1$.]
[易错点津]所给向量夹角的范围是锐角时，仅考虑到向量的数量积大于零的情况而忽略两个向量共线的情况，从而没有将两个向量共线的情况排除掉而致错.

2. 已知$\boldsymbol{a}=(-2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(\lambda,1)$，若$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，则$\lambda$的取值范围是$\lambda＞-\frac{1}{2}$，且$\lambda\neq2$.

答案： 2.$\lambda＞-\frac{1}{2}$，且$\lambda\neq2$[提示:$\because\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，$\therefore\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle＜0$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，$\therefore\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}＜0$，且$-\lambda + 2\neq0$，$\therefore-2\lambda - 1＜0$，且$\lambda\neq2$，$\therefore\lambda＞-\frac{1}{2}$，且$\lambda\neq2$.]

3. 我国东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若$E$为$AF$的中点，$\overrightarrow{EC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$，则$\lambda+\mu$等于 (B)


A.$\frac{9}{5}$　
B.$\frac{7}{5}$　
C.$\frac{3}{5}$　
D.$\frac{1}{5}$

答案：
3.B[提示:以$E$为坐标原点，$EF$所在直线为$x$轴，$ED$所在直线为$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设$EF = 1$，由$E$为$AF$的中点，可得$E(0,0),A(-1,0),B(1,-1),D(0,2),C(2,1)$，所以$\overrightarrow{EC}=(2,1),\overrightarrow{AB}=(2,-1),\overrightarrow{AD}=(1,2)$，因为$\overrightarrow{EC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$，所以$(2,1)=\lambda(2,-1)+\mu(1,2)$，即$\begin{cases}2\lambda+\mu=2\\-\lambda + 2\mu=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{4}{5}\\\mu=\frac{3}{5}\end{cases}$，则$\lambda+\mu=\frac{7}{5}$.]
[疑难突破]利用正方形邻边互相垂直的特征，建立平面直角坐标系，将复杂的向量线性运算转化为直角坐标系下的坐标运算，大大地简化了运算的复杂性，提高了解题效率.

4. 满足下列条件的两组基底$\{\boldsymbol{a_1}$，$\boldsymbol{a_2}\}$与$\{\boldsymbol{b_1}$，$\boldsymbol{b_2}\}$叫作一组“对偶基底”：$\boldsymbol{a_i} · \boldsymbol{b_j}= \begin{cases}1,i=j, \\ 0,i \neq j;\end{cases}$ $i$，$j \in \{1,2\}$，当$\boldsymbol{a_1}$，$\boldsymbol{a_2}$均为单位向量，且$\langle\boldsymbol{a_1}$，$\boldsymbol{a_2}\rangle=\frac{2\pi}{3}$时，$\boldsymbol{b_1}$ ______ $· \boldsymbol{b_2}=$

答案： 4.$\frac{2}{3}$[提示:以$\overrightarrow{a_1}$方向为$x$轴正方向，$\overrightarrow{a_1}$转向$\overrightarrow{a_2}$的方向为正方向，向正方向旋转$90^{\circ}$为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，则$\overrightarrow{a_1}$的坐标为$(1,0),\overrightarrow{a_2}$的坐标为$(\cos\frac{2\pi}{3},\sin\frac{2\pi}{3})$，即$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.设$\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2}$在该坐标系下的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，根据题设条件可知：$\begin{cases}\overrightarrow{a_1}·\overrightarrow{b_1}=1· x_1+0· y_1=1\\\overrightarrow{a_2}·\overrightarrow{b_1}=-\frac{1}{2}x_1+\frac{\sqrt{3}}{2}y_1=0\\\overrightarrow{a_1}·\overrightarrow{b_2}=1· x_2+0· y_2=0\\\overrightarrow{a_2}·\overrightarrow{b_2}=-\frac{1}{2}x_2+\frac{\sqrt{3}}{2}y_2=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=1\\y_1=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=0\\y_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{cases}$，$\therefore\overrightarrow{b_1}·\overrightarrow{b_2}=x_1x_2+y_1y_2=1×0+\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{3}$.]
[疑难突破]利用题设条件，建立平面直角坐标系，将复杂的向量数量积及运算转化为直角坐标系下的数量积的坐标运算，大大地简化了运算的复杂性，提高了解题效率