《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

1. (2024·湘西自治州八年级竞赛)如图 3 - 1,在△ABC 中,∠ABC = 45°,CD⊥AB 于点 D,BE 平分∠ABC,且 BE⊥AC 于点 E,与 CD 相交于点 F,DH⊥BC 于点 H,交 BE 于点 G. 下列结论:①BD = CD;②AD + CF = BD;③CE = $\frac{1}{2}$BF;④AE = BG. 其中正确的是 (C)

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

答案：
1.C 提示:
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD. 故①正确;
∵∠DBF=90° - ∠BFD，∠DCA=90° - ∠EFC，且∠BFD = ∠EFC，
∴∠DBF = ∠DCA.
∴△DFB≌△DAC(ASA).
∴BF = AC;DF = AD.
∵CD = CF + DF，
∴AD + CF = BD;故②正确;通过证明△BEA≌△BEC(ASA)得出CE = AE = $\frac{1}{2}$AC. 由
(2)，知BF = AC，
∴CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BF;故③正确;连接CG，
∵BD = CD. 又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC.
∴BG = CG.在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG.
∵CE = AE，
∴AE＜BG. 故④错误

2. (2022 秋·黄骅市期中)在△ABC 中,∠A = 50°,∠B = 30°,点 D 在 AB 边上,连接 CD,若△ACD 为直角三角形,则∠BCD 的度数为 (D)

A.60°
B.10°
C.45°
D.10°或 60°

答案： 2.D 提示:分两种情况:①如图3 - 1图1，当∠ADC = 90°时，
∵∠B = 30°，
∴∠BCD = 90° - 30° = 60°;②如图3 - 1图2，当∠ACD = 90°时，
∵∠A = 50°，∠B = 30°，
∴∠ACB = 180° - 30° - 50° = 100°.∠BCD = 100° - 90° = 10°，综上，∠BCD的度数为60°或10°，故选D.

3. (全国竞赛)已知正整数 $a_1,a_2...... a_{10}$ 满足 $a_1\leq a_2\leq·s\leq a_{10}$,且其中任意三个数都不能成为三角形的三边长,则 $\frac{a_{10}}{a_1}$ 的最小值是 (B)

A.34
B.55
C.89
D.144

答案： 3.B 提示:注意到$a_{10} \geqslant a_9 + a_8 \geqslant 2a_8 + a_7 \geqslant 3a_7 + 2a_6 \geqslant 5a_6 + 3a_5 \geqslant 8a_5 + 5a_4 \geqslant ·s \geqslant 34a_2 + 21a_1 \geqslant 55a_1$，即$\frac{a_{10}}{a_1} \geqslant 55$. 当$a_1 = a_2$，$a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n(1 \leqslant n \leqslant 8)$时，等式成立.

4. (宁波自主招生)如图 3 - 2,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 8,AC = 6,AD 为△ABC 的中线,点 F 在边 AC 上(不与端点重合),BF 与 AD 交于点 E,若 AF = EF,则 AE 的长为 (A)

A.$\frac{14}{5}$
B.3
C.$\frac{16}{5}$
D.4

答案： 4.A 提示:如图3 - 2，延长AD至G，使得DG = DA，连BG，过B作BH⊥AG，垂足为H.
∵BD = CD，∠ADC = ∠BDG，DG = DA，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴BG = AC = 6，∠G = ∠DAC，
∴BG//AC，
∴∠ABG = ∠BAC = 90°.
∵AF = EF，
∴∠DAC = ∠AEF.
∵∠AEF = ∠BEG，
∴∠BEG = ∠BGE，
∴BE = BG = 6.
∵∠BAC = 90°，
∴BC = $\sqrt{AB^2 + AC^2}$ = 10，
∴AD = $\frac{1}{2}$BC = 5，
∴AD = DG = 5，AG = 10.
∵$S_{\triangle ABG} = \frac{1}{2}AB· BG = \frac{1}{2}AG· BH$，即$\frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × BH$，
∴BH = $\frac{24}{5}$.
∵BE = BG，BH⊥GE，
∴GH = EH = $\frac{1}{2}$EG，在Rt△BHE中，EH = $\sqrt{BE^2 - BH^2}$ = $\frac{18}{5}$，
∴GE = 2EH = $\frac{36}{5}$，
∴AE = AG - GE = 10 - $\frac{36}{5}$ = $\frac{14}{5}$.故选A.

5. (全国联赛)将长度为 20 cm 的铁丝围成三边长均为整数的三角形,那么所围成的不全等的三角形的个数是 (C)

A.5
B.6
C.8
D.10

答案： 5.C 提示:设三角形三边长为a，b，c，满足a≤b≤c，
∵a + b＞c，
∴2c＜a + b + c = 20，
∴c＜10，又
∵3c≥a + b + c = 20，
∴c≥6$\frac{2}{3}$，从而c≥7，
∴7≤c≤9，当c = 7时，b = 7，a = 6，当c = 8时，b = 8，a = 4或b = 7，a = 5或b = 6，a = 6，当c = 9时，b = 9，a = 2或b = 8，a = 3或b = 7，a = 4或b = 6，a = 5，共有8组解，故选C.

6. 如图 3 - 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,AB ＞ AD,下列结论中正确的是 (A)

A.AB - AD ＞ CB - CD
B.AB - AD = CB - CD
C.AB - AD ＜ CB - CD
D.AB - AD 与 CB - CD 的大小关系不正确

答案： 6.A 解:在AB上截取AE = AD，连接CE.
∵AC平分∠BAD，
∴△AEC≌△ADC(SAS)，
∴AE = AD，CE = CD，
∴AB - AD = AB - AE = BE，BC - CD = BC - CE，
∵在△BCE中，BE＞BC - CE，
∴AB - AD＞CB - CD.所以A选项是正确的.

7. (江苏自主招生)如图 3 - 4 在△ABC 中,P,Q 分别是 BC,AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是点 R,S,若 AQ = PQ,PR = PS,下面三个结论:①AS = AR;②PQ//AB;③△BRP≌△CSP,其中正确的是 (A)

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： 7.A 提示:连接AP，在Rt△APR和Rt△APS中，$\begin{cases} AP = AP \\ PR = PS \end{cases}$，
∴△APR≌△APS(HL)，
∴AS = AR，故①正确，∠BAP = ∠SAP，
∴∠SAB = ∠BAP + ∠SAP = 2∠SAP.在△AQP中，
∵AQ = PQ，∠QAP = ∠APQ，∠CQP = ∠QAP + ∠APQ = 2∠QAP = 2∠SAP，
∴PQ//AB，故②是正确的，在Rt△BRP和Rt△CSP中，只有PR = PS，
∴不满足三角形全等的条件，故③错误.