《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. 计算下列各题.
(1)(“希望杯”竞赛)$\frac {19931992^{2}}{19931991^{2}[phone]^{2}-2}$;
(2)(上海市竞赛)$\frac {1^{2}}{1^{2}-100 + 5000}+\frac {2^{2}}{2^{2}-200 + 5000}+·s+\frac {98^{2}}{98^{2}-9800 + 5000}+\frac {99^{2}}{99^{2}-9900 + 5000}$;
(3)(天津市竞赛)$\frac {a}{a^{3}+a^{2}b + ab^{2}+b^{3}}+\frac {b}{a^{3}-a^{2}b + ab^{2}-b^{3}}+\frac {1}{a^{2}-b^{2}}-\frac {1}{a^{2}+b^{2}}-\frac {a^{2}+3b^{2}}{a^{4}-b^{4}}$.

答案： 19.解：
(1)设n=19931992,则原式$=\frac{n^{2}}{(n-1)^{2}+(n+1)^{2}-2n^{2}}=\frac{n^{2}}{2}= \frac{1}{2},\therefore$原式=49 × 2+1=99.
(3)原式$=\frac{n^{2}-100n+5000}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{(100-n)^{2}-100(100-n)+5000}{(a-b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{2b^{2}}{a^{4}-b^{4}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})}+\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{4}-b^{4}}=0.$

20. (江苏省海门中学自主招生考试)设绝对值小于1的全体实数的集合为$S$,在$S$中定义一种运算“$*$”,使得$a*b=\frac {a + b}{1 + ab}$.
(1)求证:结合律$(a*b)*c = a*(b*c)$成立;
(2)求证:如果$a$与$b$在$S$中,那么$a*b$也在$S$中.
(说明:可能用到的知识:$|a|\lt1$,即$a^{2}\lt1$)

答案： 20.证明：$(1)(a*b)*c=ab*c=\frac{a+b}{1+ab}*c=\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}c}=\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$因为此式关于a,b,c对称,所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立,这样就利用对称性减少了一半计算.
(2)当-1＜a＜1,-1＜b＜1时,有-1＜\frac{a+b}{1+ab}＜1成立,也即证$(\frac{a+b}{1+ab})^{2}＜1$成立,从而用比较法即可获得.