《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (天津竞赛)如图 9 - 15,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AC $ 平分 $ \angle BAD $,过 $ C $ 点作 $ CE\perp AB $ 于点 $ E $,并且 $ AE = \frac{1}{2}(AB + AD) $,求 $ \angle ABC + \angle ADC $ 的值.

答案： 16.∠ABC+∠ADC=180°. 解:过C作CF⊥AD的延长线于F.
∵AC平分∠BAD,又
∵CF⊥AF,CE⊥AB,
∴CF=CE.可证Rt△ACE≅Rt△ACF(HL),
∴AF=AE,即AD+DF=AE,又
∵AE=$\frac{1}{2}$(AB+AD),
∴AD+DF=$\frac{1}{2}$(AB+AD),即2AD+2DF=AB+AD,则AD+2DF=AB,而AB=AE+EB,
∴AD+2DF=AE+EB,即AD+DF+DF=AE+EB,即AF+DF=AE+EB,又
∵AF=AE,
∴DF=EB,可证△CFD≅△CEB(SAS),
∴∠CDF=∠ABC,而∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠ABC+∠ADC=180°.

17. (全国联赛＜四川赛区＞决赛试题)如图 9 - 16,已知等腰直角三角形 $ ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ BC $ 边的中点,$ E $ 为线段 $ AC $ 上一点,且 $ \angle EDC = \angle ADB $,求证:$ BE + ED = AD $.

答案： 17.证明:延长ED与AB延长线相交于点F,过点B作BG//AC交DF于G,易证△ABD≅△FBD,△EDC≅△GDB,△CBE≅△BFG,
∴BE=FG,ED=DG,
∴BE+ED=FD=AD.

18. 如图 9 - 17,$ \angle C = 90^{\circ} $,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle A = 30^{\circ} $,在 $ Rt\triangle A'B'C $ 中,$ \angle CA'B' = 45^{\circ} $,点 $ A',B $ 分别在线段 $ AC,B'C $ 上. 将 $ \triangle A'B'C $ 绕直角顶点 $ C $ 顺时针旋转一个锐角 $ \theta $ 时,边 $ A'B' $ 分别交 $ AB,AC $ 于点 $ P,Q $,且 $ \triangle APQ $ 为等腰三角形,求锐角 $ \theta $ 的度数.

答案： 18.解:旋转后得到△APQ为等腰三角形,有两种情况:
(1)∠A=30°为等腰△APQ的底角,∠APQ=30°.在△APQ与△A′CQ中,∠A+∠APQ=∠A′+∠QCA′,即30°+30°=45°+∠QCA′,
∴∠QCA′=15°,
∴θ=15°.
(2)∠A=30°为等腰△APQ的顶角,∠APQ=∠AQP=75°.在△APQ与△A′CQ中,∠A+∠APQ=∠A′+∠QCA′,
∴30°+75°=45°+∠QCA′,
∴∠QCA′=60°,即θ=60°.综上,θ=15°或60°.