《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (“学而思杯”中学生理科能力大赛)设 $ \lambda ＞ 0 $,试确定最大的常数 $ c $,使得对所有的非负实数 $ x_{1},x_{2} $ 都有 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda x_{1}x_{2}\geq c(x_{1}+x_{2})^{2} $.

答案： 18.解:
①因为当$\lambda\geq2$时，$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \lambda x_{1} · x_{2}\geq x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1} · x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2}$，当且仅当$x_{1} = x_{2} = 0$时，等号成立；
②当$0 ＜ \lambda ＜ 2$时，$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \lambda x_{1} · x_{2}= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1} · x_{2} - (2 - \lambda)x_{1} · x_{2}\geq (x_{1} + x_{2})^{2} - (2 - \lambda)(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})^{2} = \frac{2 + \lambda}{4}(x_{1} + x_{2})^{2}$，当且仅当$x_{1} = x_{2}$时等号成立。
综上可知，当$\lambda\geq2$时，$c$的最大值为$1$；当$0 ＜ \lambda ＜ 2$时，$c$的最大值为$\frac{2 + \lambda}{4}$。

20. (武汉市黄陂区自主招生)代数式 $ (\sqrt{2}x + 1)^{5} $ 的运算可以转化为五个多项式 $ (\sqrt{2}x + 1)·(\sqrt{2}x + 1)·(\sqrt{2}x + 1)·(\sqrt{2}x + 1)·(\sqrt{2}x + 1) $ 相乘,按多项式乘法法则,展开合并同类项后其乘积为:$ a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x + a_{0} $,其中 $ a_{5},a_{4},a_{3},a_{2},a_{1},a_{0} $ 为乘积展开式各项的系数,因此,$ (\sqrt{2}x + 1)^{5}=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x + a_{0} $.
(1)求 $ a_{0} $ 与 $ a_{5} $ 的值;
(2)求 $ (a_{0}+a_{2}+a_{4})^{2}-(a_{1}+a_{3}+a_{5})^{2} $ 的值.

答案： 19.解:
(1)因为$(\sqrt{2}x + 1)^{5} = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$，令$x = 0$，得到$a_{0} = 1$。因为$a_{5}$是$x^{5}$的系数，所以$a_{5} = (\sqrt{2})^{5} = 4\sqrt{2}$。
(2)当$x = 1$时，$(\sqrt{2} + 1)^{5} = a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} + a_{1} + a_{0}$；当$x = -1$时，$(-\sqrt{2} + 1)^{5} = -a_{5} + a_{4} - a_{3} + a_{2} - a_{1} + a_{0}$。
又因为$(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2} = (a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}) · (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}) = (\sqrt{2} + 1)^{5} · (-\sqrt{2} + 1)^{5} = (1 - 2)^{5} = -1$。