《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (2022·浙江余杭中学、慈溪中学核心素养发展营活动)已知 $ x = \sqrt{a}-1 $,化简 $ x^{5}+2x^{4}-ax^{3}-x^{2}+(a + 1)x - a $.

答案： 15.解:由$x = \sqrt{a} - 1$，得$a = (x + 1)^{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}&x^{5} + 2x^{4} - (x + 1)^{2}x^{3} - x^{2} + [(x + 1)^{2} + 1]x - (x + 1)\\=&x^{5} + 2x^{4} - (x^{2}+2x + 1)x^{3} - x^{2} + (x^{2}+2x + 2)x - (x + 1)\\=&x^{5} + 2x^{4} - x^{5}-2x^{4}-x^{3}-x^{2}+x^{3}+2x^{2}+2x - x - 1\\=& -1\end{aligned}$

17. (江苏省竞赛)设 $ a,b,c $ 满足 $ a + b + c = 1,a^{2}+b^{2}+c^{2}=2,a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 $.
求:(1)$ abc $ 的值;(2)$ a^{4}+b^{4}+c^{4} $ 的值.

答案： 16.解:
(1)已知$\begin{cases}a + b + c = 1&① \\a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2&② \\a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3&③\end{cases}$
①² - ②，得$ab + bc + ac = -\frac{1}{2}$。
因为$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac)$，所以$abc = \frac{1}{3}(a^{3} + b^{3} + c^{3}) - \frac{1}{3}(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac) = \frac{1}{3} × 3 - \frac{1}{3} × 1 × (2 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{6}$。
(2)将②式两边平方，得$a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2a^{2}b^{2} + 2b^{2}c^{2} + 2c^{2}a^{2} = 4$，所以$a^{4} + b^{4} + c^{4} = 4 - 2(a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + a^{2}c^{2}) = 4 - 2[(ab + bc + ac)^{2} - 2abc(a + b + c)] = 4 - 2[(-\frac{1}{2})^{2} - 2 × \frac{1}{6} × 1] = \frac{25}{6}$。

18. (黄冈市重点中学招生考试)如图 10 - 2 所示,利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性,也可以解释不等式的正确性.
(1)根据下列所示图形写一个代数恒等式;
(2)已知正数 $ a,b,c $ 和 $ m,n,l $ 满足 $ a + m = b + n = c + l = k $. 试构造边长为 $ k $ 的正方形,利用图形面积来说明 $ al + bm + cn ＜ k^{2} $.

答案：
17.解:
(1)比如$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab$或$(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4ab$或$(a + b)^{2} - 4ab = (a - b)^{2}$等。
(2)比如构造如图10 - 2所示正方形。