《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

10. (北京四中自主招生)分解因式:$ 6x^{3}-11x^{2}+x + 4 = $.

答案：
10.

11. (法国竞赛题)比较大小:$ 1.01^{100} $＞2(填“＞”“＜”或“=”).

答案： 11. ＞ 提示:对于任意正数$n,\frac{n + 1}{n}-\frac{n + 2}{n + 1}=(1+\frac{1}{n})-(1+\frac{1}{n + 1})=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=\frac{1}{n(n + 1)}＞0,\therefore\frac{n + 1}{n}＞\frac{n + 2}{n + 1}.1.01^{100}=(1+\frac{1}{100})^{100}=(1+\frac{1}{100})×(1+\frac{1}{100})×·s×(1+\frac{1}{100})=\frac{101}{100}×\frac{101}{100}×\frac{101}{100}×·s×\frac{101}{100}＞\frac{197}{196}×\frac{198}{197}×\frac{199}{198}×\frac{200}{199}×\frac{200}{100}=2,\therefore1.01^{100}＞2.$

12. (湖北省麻城一中预录考试)已知 $ a + b + c = 0,a^{2}+b^{2}+c^{2}=6 $,那么 $ a^{4}+b^{4}+c^{4} $ 的值等于18.

答案： 12.18 提示$\because(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac=6 + 2ab + 2bc + 2ac=0,\therefore ab + bc + ac=-3,\because a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+2abc(a + b + c)=9,\because a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=9,$又$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=36,\therefore a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}=36,\therefore a^{4}+b^{4}+c^{4}=36 - 2×9=18.$

13. (鄂州市高中自主招生)已知 $ n $ 个数 $ x_{1},x_{2},x_{3},·s,x_{n} $,它们每一个数只能取 $ 0,1,-2 $ 这三个数中的一个,且 $ \begin{cases}x_{1}+x_{2}+·s +x_{n}=-5\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+·s +x_{n}^{2}=19\end{cases}$,则 $ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+·s +x_{n}^{3}= $ ______ .

答案： 13.-29 提示:设有x个1,y个 - 2,则$\begin{cases}x - 2y=-5\\x + 4y=19\end{cases},$故$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}.$
原式$=3×1^{3}+4×(-2)^{3}=-29.$

14. (华中师大一附中预录考试)若实数 $ x,y $ 满足 $ \frac{x}{2^{5}+5^{3}}+\frac{y}{2^{5}+6^{3}}=1,\frac{x}{3^{5}+5^{3}}+\frac{y}{3^{5}+6^{3}}=1 $,则 $ x + y = $2^{5}+3^{5}+5^{5}+6^{5}(或6165).

答案： $14.2^{5}+3^{5}+5^{5}+6^{5}($或6165) 提示$\because(2^{5}+6^{5})x+(2^{5}+6^{5})y=(2^{5}+6^{5})(2^{5}+6^{5}) ①,\because① - ②$得$:(3^{5}-2^{5})(x + y)=(3^{10}-2^{10})+(3^{5}-2^{5})(5^{5}+6^{5}),$即$(3^{5}-2^{5})(x + y)=(3^{5}-2^{5})(3^{5}+2^{5})+(3^{5}-2^{5})(5^{5}+6^{5}),$故$x + y=2^{5}+3^{5}+5^{5}+6^{5}.$

15. (2022·重庆渝北区自主招生)一个四位正整数 $ P $ 满足千位上的数字比百位上的数字大 2,十位上的数字比个位上的数字大 2,千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字均不为零,则称 $ P $ 为“双减数”,将“双减数”$ P $ 的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为 $ M(P) $,将“双减数”$ P $ 的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为 $ N(P) $,并规定 $ F(P)=\frac{M(P)}{N(P)} $.
例如:四位正整数 7564,$ \because 7 - 5 = 6 - 4 = 2 $,且 $ 7 \neq 6 $,$ \therefore 7564 $ 是“双减数”,此 $ M(7564)=76 + 54 = 130 $,$ N(7564)=75 - 64 = 11 $,$ \therefore F(7564)=\frac{130}{11} $.
(1)填空:$ F(3186)= $-\frac{54}{55},并证明对于任意“双减数”$ A $,$ N(A) $ 都能被 11 整除;
(2)若“双减数”$ P $ 为偶数,且 $ M(P)-N(P) $ 能被 6 整除,求满足条件的所有“双减数”$ P $,并求 $ F(P) $ 的值.

答案： 15.解:
(1)四位数3186:8 - 6=3 - 1=2,且$3≠8,\therefore3186$是“双减数$”,\therefore M(3186)=38 + 16=54,N(3186)=31 - 86=-55,\therefore F(3186)=\frac{54}{-55}.$
$\therefore$设“双减数”A的千位上的数字为a,十位上的数字为n,百位上的数字为(m - 2),个位上的数字为$(n - 2)(m≠n).\therefore N(A)=10m + n-2-(10n + n - 2)=11(m - n),\because m,n$为整数,且$m≠n,\therefore m - n$为非零整数$,\therefore$对于任意“双减数”A,N(A)都能被11整除;故答案为$-\frac{54}{55}.(2)$设“双减数”的千位上的数字为a,十位上的数字为$b(3\leqslant a\leqslant9,3\leqslant b\leqslant9,$且$a≠b),\therefore M(P)=10a + b + 10(a - 2)+b - 2=20a + 2b - 22,N(P)=10a + a-(10b + b - 2)=11a - 11b,\because M(P)-N(P)=\frac{9a + 13b - 22}{6}=a + 2b + 4+\frac{3a + b + 2}{6}$为整数$,\therefore P$为偶数$,\therefore b - 2$为偶数,b,a也为偶数$,a\leqslant8,4\leqslant b\leqslant8,$则$18\leqslant3a + b + 2\leqslant34,\therefore3a + b + 2=18$或24或$30,\begin{cases}a = 4\\b = 4\end{cases}($舍$),\begin{cases}a = 6\\b = 4\end{cases}\begin{cases}a = 8\\b = 4\end{cases}\therefore P = 6442$或$8642.\therefore F(6442)=\frac{\frac{53}{11}}{\frac{73}{22}}.$