《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

1. (五羊杯数学竞赛)已知三角形的三条边 $ a,b,c $ 的长都为整数,$ a\leq b\lt c $,如果 $ b = 8 $,则这样的三角形有(B)

A.21 个
B.28 个
C.49 个
D.54 个

答案： 1.B 提示:由三角形三边关系可得:b＜c＜a+b,即8＜c＜a+8,又
∵a≤b＜c,b=8,a,b,c的长都为整数,
∴整数a的可能值为1,2,3,4,5,6,7,8.①当a=1时,8＜c＜9,c没有符合条件的整数,故有0种;②当a=2时,8＜c＜10,c有9一个取值;③当a=3时,8＜c＜11,c有9,10两个取值符合;④当a=4时,8＜c＜12,c有9,10,11三个取值;⑤当a=5时,8＜c＜13,c有9,10,11,12四个取值;⑥当a=6时,8＜c＜14,c有9,10,11,12,13五个取值;⑦当a=7时,8＜c＜15,c有9,10,11,12,13,14六个取值;⑧当a=8时,8＜c＜16,c有9,10,11,12,13,14,15七个取值.故共有1+2+3+4+5+6+7=28个三角形,故选B.

2. (2023 秋·仪陇县月考)如图 9 - 1,在等腰直角三角形 $ ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AD\perp BC $ 于点 $ D $,$ \angle ABC $ 的平分线分别交 $ AC,AD $ 于 $ E,F $ 两点,$ M $ 为 $ EF $ 的中点,延长 $ AM $ 交 $ BC $ 于点 $ N $,连接 $ DM,NE $. 下列结论:①$ AE = AF $;②$ AM\perp EF $;③$ \triangle AEF $ 是等边三角形;④$ DF = DN $,⑤$ AD// NE $. 其中正确的结论有(D)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 2.D 提示:
∵∠BAC=90°,AC=AB,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB=90°,
∴∠BAD=45°=∠CAD,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°,
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°,∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,
∴AF=AE,故①正确;③错误,
∵M为EF的中点,
∴AM⊥EF,故②正确;
∵AM⊥EF,
∴∠AMF=∠AME=90°,
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN,
∴△FBD≅△NAD(ASA),
∴DF=DN,故④正确;
∵∠BAM=∠BNM=67.5°,
∴BA=BN,
∵∠EBA=∠EBN,BE=BE,
∴△EBA≅△EBN(SAS),
∴∠BNE=∠BAE=90°,
∴∠ENC=∠ADC=90°,
∴AD//EN.故⑤正确,故选D.
　　　

3. (2024 春·浮梁县期中)如图 9 - 2,线段 $ AB,DE $ 的垂直平分线交于点 $ C $,且 $ \angle ABC = \angle EDC = 72^{\circ} $,$ \angle AEB = 92^{\circ} $,则 $ \angle EBD $ 的度数为(C)

A.$ 168^{\circ} $
B.$ 158^{\circ} $
C.$ 128^{\circ} $
D.$ 118^{\circ} $

答案： 3.C 提示:连接CE,
∵线段AB,DE的垂直平分线交于点C,
∴CA=CB,CE=CD,
∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC,
∴∠ACB=∠ECD=36°,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≅△BCD(SAS),
∴∠AEC=∠BDC,设∠AEC=∠BDC=α,则∠BDE=72°-α,∠CEB=92°-α,
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-(92°-α)=α-20°,
∴△BDE中,∠EBD=180°-(72°-α)-(α-20°)=128°,故选C.

4. (“希望杯”邀请赛)如图 9 - 3,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 96^{\circ} $,延长 $ BC $ 到点 $ D $,$ \angle ABC $ 与 $ \angle ACD $ 的平分线相交于点 $ A_1 $,$ \angle A_1BC $ 与 $ A_1CD $ 的平分线相交于点 $ A_2 $,依此类推,$ \angle A_4BC $ 与 $ A_4CD $ 的平分线相交于点 $ A_5 $,则 $ \angle A_5 $ 的大小是(A)

A.$ 3^{\circ} $
B.$ 5^{\circ} $
C.$ 8^{\circ} $
D.$ 19.2^{\circ} $

答案： 4.A 提示:∠A₅=($\frac{1}{2}$)⁵∠A₁.即∠A₅=($\frac{1}{2}$)⁵×96°=3°.

5. (2023 秋·齐齐哈尔市建华区期末)如图 9 - 4,四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = 122^{\circ} $,$ \angle B = \angle D = 90^{\circ} $,在 $ BC,CD $ 上分别找一点 $ M,N $,当 $ \triangle AMN $ 的周长最小时,$ \angle MAN $ 的度数为(B)

A.$ 58^{\circ} $
B.$ 64^{\circ} $
C.$ 61^{\circ} $
D.$ 74^{\circ} $

答案：
5.B 提示:如图9-1,延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC,CD分别交于点M,N.

∵∠ABC=∠ADC=90°,A,A′关于BC对称,A,A″关于CD对称,此时△AMN的周长最小,
∴BA=BA′,MB⊥AB,
∴MA=MA′,同理,NA=NA″,
∴∠A′=∠MAB,∠A″=∠NAD,∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′,∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″),
∵∠BAD=122°,
∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=58°,
∴∠AMN+∠ANM=2×58°=116°.
∴∠MAN=180°-116°=64°,故选B.

6. (2024·宁海县自主招生)如图 9 - 5,$ \triangle ABC $ 的三条高相交于点 $ G $,$ CH $ 是角平分线,已知 $ \angle ABC = 45^{\circ} $,$ \angle ACD = 60^{\circ} $,则图中的等腰三角形共有(D)个.

A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个

答案： 6.D 提示:①
∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰三角形;②CF⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCF是等腰三角形;③∠ACB=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°,
∵CH是角平分线,
∴∠BCH=∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴∠CBI=∠ICB,
∴△BCI是等腰三角形;④∠ACB=60°,∠CAD=90°-60°=30°,∠ACJ=∠CAJ=30°,
∴△ACJ是等腰三角形;⑤∠ACF=60°-45°=15°,∠CAF=90°-15°=75°,∠AHC=∠ABC+∠BCH=45°+30°=75°,
∴∠CAH=∠CHA,
∴△ACH是等腰三角形;⑥∠GCD=45°,
∴△CDG是等腰三角形;⑦∠GJI=∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°,∠GJI=∠CJD=90°-30°=60°,
∴∠GJI=∠GJI=60°,
∴△GJI是等边三角形;⑧△AFG是等腰三角形;综上分析,图中等腰三角形共有8个:△ABD,△BCF,△BCI,△ACJ,△ACH,△CDG,△GJI,△AFG.故选D.