《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

10. (江苏自主招生改编)对于正数$x$,规定$f(x)=\frac {x}{1 + x}$,例如:$f(2)=\frac {2}{1 + 2}=\frac {2}{3},f(3)=\frac {3}{1 + 3}=\frac {3}{4},f(\frac {1}{2})=\frac {\frac {1}{2}}{1 + \frac {1}{2}}=\frac {1}{3},f(\frac {1}{3})=\frac {\frac {1}{3}}{1 + \frac {1}{3}}=\frac {1}{4}$,利用以上规律计算:$f(\frac {1}{2025})+f(\frac {1}{2024})+·s +f(\frac {1}{3})+f(\frac {1}{2})+f(1)+f(2)+·s +f(2025)$的值为2024\frac{1}{2}.

答案： $10.2024\frac{1}{2} $提示$:\because f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2},f(2)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3},f(\frac{1}{2})=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3},f(3)=\frac{1}{1+\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{4},f(\frac{1}{3})=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4},·s f(2025)=\frac{1}{1+\frac{1}{2025}}=\frac{2025}{2026},f(\frac{1}{2025})=\frac{1}{1+\frac{1}{2026}}=\frac{2026}{2027},\therefore f(1)+f(\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}+\frac{2025}{2026}=\frac{2025+2026}{2026},f(2)+f(\frac{1}{2})=1,·s,f(2025)+f(\frac{1}{2025})=1,\therefore f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2024})+·s+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+·s+f(2025)=2024+ \frac{1}{2}.$

11. (2023·鼓楼区校级自主招生改编)已知整数$a,b,c$满足$a\lt0\lt b\lt c$,且其中任意两数之和是第三个数的整数倍,则$\frac {a + b}{c}$所有可能的值为-1或0.

答案： 11.-1或0 提示:整数a,b,c满足$a＜0＜b＜c,\frac{a+b}{c}＜1,\frac{a+b}{c} \leqslant 0,\frac{b+c}{a}$是负整数$,\frac{b+c}{a} \leqslant -1,\therefore a+b+c \geqslant 0,\therefore \frac{a+b}{c} \geqslant -1,\therefore -1 \leqslant \frac{a+b}{c} \leqslant 0,\therefore \frac{a+b}{c}$可能的值是-1或0.

12. (2023·山东青岛市南区月考改编)设互不相等的非零实数$a,b,c$满足$a + \frac {2}{b}=b + \frac {2}{c}=c + \frac {2}{a}$,则$(a + \frac {2}{b})^{2}+(b + \frac {2}{c})^{2}+(c + \frac {2}{a})^{2}$的值为6.

答案： 12.6 提示:令$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}=k,$则ab+2=bk,bc+2=ck,ac+2=ak,由ab+2=bk可得abc+2c=kbc=k(ck-2),移项,得$abc+2k=(k^{2}-2)c,$同理可得$abc+2k=(k^{2}-2)a,abc+2k=(k^{2}-2)b,\therefore (k^{2}-2)a=(k^{2}-2)b=(k^{2}-2)c,\because a,b,c$为互不相等的非零实数$,\therefore k^{2}-2=0,$即$k^{2}=2,$则$(a+\frac{2}{b})^{2}+(b+\frac{2}{c})^{2}+(c+\frac{2}{a})^{2}=3k^{2}=6.$

13. (2024·陕西省西安交大附中少年班自主招生)已知$a + b + c + d = 0,abcd\gt0$,则$\frac {|a|}{b + c + d}+\frac {|b|}{a + c + d}+\frac {|c|}{a + b + d}+\frac {|d|}{a + b + c}=$0.

答案： 13.0 提示$:\because a+b+c+d=0,\therefore b+c+d=-a,a+c+d=-b,a+b+d=-c,a+b+c=-d,\therefore \frac{|a|}{b+c+d}+\frac{|b|}{a+c+d}+\frac{|c|}{a+b+d}+\frac{|d|}{a+b+c}=\frac{|a|}{-a}+\frac{|b|}{-b}+\frac{|c|}{-c}+\frac{|d|}{-d},\because abcd＞0,\therefore$要么都是正数,要么两负两正$,\therefore a+b+c+d=0,\therefore a,b,c,d$中两正两负,不妨设a＞0,b＞0,c＜0,d＜0,
\therefore -(\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}+\frac{|d|}{d})=-(1+1-1-1)=0.

14. 若$abc\neq0,\frac {a}{b + c}+\frac {b}{c + a}+\frac {c}{a + b}=1$,则$\frac {a^{2}}{b + c}+\frac {b^{2}}{c + a}+\frac {c^{2}}{a + b}=$0.

答案： 14.0 提示$:\because \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1,abc \ne 0,$两边同时乘以a得$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ac}{a+b}=a①,$同理$\frac{ab}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{bc}{a+b}=b②,\frac{ac}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}=c③,\textcircled{1}+\textcircled{2}+\textcircled{3}$得$(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b})+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{ac+bc}{a+b}=a+b+c,$即$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac}{b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ac+bc}{a+b}=a+b+c,\frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{b+c}+\frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{c+a}+\frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{a+b}=a+b+c,\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b}=0.$

15. (北京市竞赛试题)已知$a^{2}+4a + 1 = 0$,且$\frac {a^{4}+ma^{2}+1}{2a^{3}+ma^{2}+2a}=3$.求$m$的值.

答案： 15.解：$\because a^{2}+4a+1=0,\therefore a^{2}+1=-4a \textcircled{1},a \ne 0,\frac{a^{4}+ma^{2}+1}{2a^{3}+ma^{2}+2a}=\frac{(a^{2}+1)^{2}+(m-2)a^{2}}{2a(a^{2}+1)+ma^{2}}=3,$把$\textcircled{1}$代入得$\frac{16a^{2}+(m-2)a^{2}}{-8a^{2}+ma^{2}}=3,$消元得$\frac{16+(m-2)}{-8+m}=3,$解得m=19.

16. (2024·北京东城区模拟)通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干,但由于不可能拧净衣服上的全部污水,所以还需要用清水进行多次漂洗,不断降低衣服中污水的含量.某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好,部分内容如下,请补充完整:实验研究:先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服,把每件衣服分别用一定量的清水浸泡,经过充分搓洗,使清水与衣服上存留的污水混合均匀,然后拧干,视为一次漂洗.称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例,如:把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后,拧干到仍然存留1斤污水,则漂洗后衣服中存有的污物是原来的$\frac {1}{11}$,在多次实验后,通过对收集的数据进行分析,该小组决定使用20斤清水,采用三种不同的方案,对每件衣服分别进行漂洗,并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水.数据计算:对三种漂洗方案进行计算、比较.
方案一:采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉,漂洗后衣服中存有的污物是原来的1/21;
方案二:采用两次漂洗的方式,且两次用水量不同.如第一次用12斤清水,第二次用8斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原来的1/117;
方案三:采用两次漂洗的方式,且两次用水量相同.每次用10斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原来的1/121.
实验结论:对比可知,在这三种方案中,方案三的漂洗效果最好(填“一”“二”或“三”).
推广证明:将脏衣服用洗衣液清洗后,再用清水进行漂洗,假设每次拧干后还存留$a(a\gt0)$斤污水,现用$m(m\gt0)$斤清水漂洗(方案二中第一次用水量为$x$斤),请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果.

答案： 16.解：数据计算：方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的$\frac{a}{a+\frac{a}{20}+1} × \frac{1}{\frac{a}{21}+1}=\frac{1}{20+1} × \frac{1}{21};$方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的$\frac{1}{12+1} × \frac{1}{8+1}=\frac{1}{117};$方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的$\frac{1}{10+1} × \frac{1}{10+1} × \frac{1}{121}=\frac{1}{117} × \frac{1}{121},$故答案为$\frac{1}{21},\frac{1}{117},\frac{1}{121};$实验结论：$\frac{1}{21}＞\frac{1}{117}＞\frac{1}{121},\therefore$方案三的漂洗效果最好.故答案为三;推广证明：方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的$\frac{a}{a+\frac{a}{2}} × \frac{a}{a+\frac{a}{2}m-\frac{a}{2}}=\frac{a^{2}}{(a+x)(a+m-x)};\frac{a}{a+x} × \frac{a}{a+m-x}=\frac{a^{2}}{(a+x)(a+m-x)}=\frac{4a^{2}}{(2a+m)^{2}-4a^{2}}=\frac{4a^{2}}{(2a+m)^{2}-4a^{2}}$当$x \ne \frac{m}{2}$时$,\frac{a^{2}}{(a+x)(a+m-x)}＞\frac{4a^{2}}{(2a+m)^{2}},\therefore$方案三比方案二漂洗效果好,综上所述,方案三的漂洗效果最好.