《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

20. (2022·华师一附中自主招生)如果一个三位数 $ a $ 的各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个三位数为“互异好数”,将一个“互异好数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新“互异好数”,把这三个新“互异好数”的和与 111 的商记为 $ S(a) $. 例如 $ a = 123 $,对调百位与十位上的数字得到 213,对调百位与个位上的数字得到 321,对调十位与个位上的数字得到 132,这三个新三位数的和为 $ 213 + 321 + 132 = 666,666÷111 = 6 $,所以 $ S(123)=6 $.
(1)计算:$ S(351) $ 和 $ S(985) $;
(2)若 $ m,n $ 都是“互异好数”,其中,$ m = 200x + 15,n = 230 + y(1\leqslant x\leqslant4,1\leqslant y\leqslant9,x,y $ 都是正整数),规定:$ \lambda=\frac{S(m)}{S(n)} $,当 $ S(m)+2S(n)=26 $ 时,求 $ \lambda $ 的值.

答案： 19.解:
(1)依题意可得$S(351)=\frac{531 + 153 + 315}{111}=9,S(985)=\frac{895 + 958 + 985}{111}=22;(2)$为方便起见,不妨设三位数a百位上数字为p,十位上数字为q,个位上数字为r,那么这个三位数可表示为:100p + 10q + r,依题意易知三个新“异互好数”分别可表示为:100q + 10p + r,100r + 10q + p,100p + 10r + q,则$S(a)=\frac{100p + 10q + r + 100q + 10r + p + 100r + 10p + q}{111}=p + q + r,$
$\therefore S(m)=S(200x + 15)=2x + 1 + 5 - 2x + 6,S(n)=S(5(230 + y)=2 + 3 + y=5 + y,$当S(m)+2S(n)=26时,有2x + 6 + 2(5 + y)=26,有2x + 6 + 2(5 + y)=26时,有2x + 6 + 2(5 + y)=26,有x + y = 5,又$\because n = 230 + y$是“异互好数$”,1\leqslant y\leqslant9,y$是正整数$,\therefore y = 1,4,5. $显然y = 5时,x = 0,不合题意,舍去$,\therefore y = 4$或$1.\therefore\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$当$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$时$,\lambda=\frac{S(m)}{S(n)}=\frac{2x + 6}{5 + y}=\frac{2×1 + 6}{5 + 4}=\frac{8}{9};$当$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$时$,\lambda=\frac{S(m)}{S(n)}=\frac{2×4 + 6}{5 + 1}=\frac{7}{3};$综上所述$,\lambda$的值为$\frac{8}{9}$或$\frac{7}{3}.$