《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

1. (2023·虎林市三模)已知关于 x 的分式方程$\frac{1 - m}{x - 1}-2=\frac{2}{1 - x}$的解是非负数,则 m 的取值范围是(C)

A.$m\leq5$且$m\neq - 3$
B.$m\geq5$且$m\neq - 3$
C.$m\leq5$且$m\neq3$
D.$m\geq5$且$m\neq3$

答案： 1.C 提示:原分式方程可化为$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = \frac{-2}{x - 1},$去分母,得1 - m - 2(x - 1) = -2,解得$x = \frac{5 - m}{2},\because$分式方程解是非负数$,\therefore\frac{5 - m}{2} \geq 0,$且$\frac{5 - m}{2} \neq 1,\therefore m$的取值范围是$m \leq 5$且$m \neq 3.$故选C.

2. (镇海中学自主招生)以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省$k\%$,那么 k 的值是(D)

A.35
B.30
C.25
D.20

答案： 2.D 提示:设距离为s,原来速度为v,则原来行车时间为$\frac{s}{v};$现在速度为(1 + 25\%)v,时间为$\frac{s}{(1 + 25\%)v}.$根据题意得$\frac{\frac{s}{v} - \frac{s}{(1 + 25\%)v}}{\frac{s}{(1 + 25\%)v}} = k\%,$解得k = 20.故选D.

3. (长沙自主招生)甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行,相遇后甲行驶 1 h 到达 B 站,乙再行驶 4 h 到达 A 站. 那么,甲车速是乙车速的(C)

A.4 倍
B.3 倍
C.2 倍
D.1.5 倍

答案： 3.C 提示:设A,B两车站路程为s,甲、乙车速分别为a,b.由题意,有$\frac{s}{a} = \frac{s}{a + b} + 1,\frac{s}{b} = \frac{s}{a + b} + 4.$变形得$\frac{sb}{a(a + b)} = 1,\frac{sa}{b(a + b)} = 4,$两式相除,得$\frac{a^{2}}{b^{2}} = 4,\frac{a}{b} = 2.$故选C.

4. (2024·衡南县模拟)若实数 m 使关于 x 的不等式组$\begin{cases}\frac{2 - x}{3}\leq2 + x,\\x ＜ \frac{m}{3}\end{cases}$有解且至多有 3 个整数解,且使关于 x 的分式方程$\frac{mx - 2}{x - 1}+\frac{3}{1 - x}=2$有整数解,则满足条件的整数 m 的个数为( )

A.5
B.4
C.3
D.2

答案： 4.C 提示$:\begin{cases} \frac{2 - x}{3} \leq 2 + x① \\ x ＜ \frac{m}{3}② \end{cases},$解不等式①得$x \geq -1,\therefore -1 \leq x ＜ \frac{m}{3},\because$不等式组有解且至多3个整数解$,\therefore -1 ＜ \frac{m}{3} \leq 2,\therefore -3 ＜ m \leq 6,$分式方程两边都乘以(x - 1)得$mx - 2 - 3 = 2(x - 1),\therefore x = \frac{3}{m - 2},\because x - 1 \neq 0,\therefore x \neq 1,\therefore \frac{3}{m - 2} \neq 1,\therefore m \neq 5,\because$方程有整数解$,\therefore m - 2 = \pm 1,\pm 3,$解得$m = 3,1,5,-1,\because m \neq 5,-3 ＜ m \leq 6,\therefore m = 3,1,-1.$故选C.

5. (2024 春·上海宝山区月考)用换元法解方程$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+x+\frac{1}{x}=4$时,设$y = x+\frac{1}{x}$,则原方程可变形为(C)

A.$y^{2}+y = 4$
B.$y^{2}+y = 2$
C.$y^{2}+y = 6$
D.$y^{2}-y = 4$

答案： 5.C 提示$:x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4,(x + \frac{1}{x})^{2} - 2x·\frac{1}{x} + (x + \frac{1}{x}) = 4,(x + \frac{1}{x})^{2} - 2 + (x + \frac{1}{x}) = 4,(x + \frac{1}{x})^{2} + (x + \frac{1}{x}) = 6,$设$y = x + \frac{1}{x},$则原方程变形为$y^{2} + y = 6.$故选C.

6. (2023·广州大学附中教育集团自主招生)下列说法:①如果$3.785^{2}=m$,则$378.5^{2}=100m$;②$0.\dot{2}\dot{7}=\frac{5}{18}$;③若$\vert a\vert=-b$,$\vert b\vert = b$,则$a - b = 0$;④若关于 x 的方程$\frac{x + 1}{x + 2}-\frac{x}{x - 1}=\frac{ax + 2}{(x - 1)(x + 2)}$无解,则$a=-2,-5$或$-\frac{1}{2}$.其中正确的命题有(C)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 6.C 提示:①如果$3.785^{2} = m,$则$378.5^{2} = (3.785×100)^{2} = 10000×3.785^{2} = 10000m,$故①错误,那么①不符合题意.②根据分数与小数的转化$,0.27 = \frac{5}{18}.$故②正确,那么②符合题意,③若|a| = -b,|b| = b,得$b \geq 0,-b \geq 0,$则a = b = 0,即a - b = 0,故③正确,那么③符合题意$,④\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{ax + 2}{(x - 1)(x + 2)}$得$x = - \frac{3}{a + 2},$由该方程无解,推断出a = -2或x = 1或x = -2,解得a = -5或$-\frac{1}{2};$综上,a = -2,-5或$-\frac{1}{2},$故④正确,那么④符合题意,综上:正确的有②③④,共3个.故选C.

7. (太原市竞赛)一项工程,甲、乙合作 2 天可完成;乙、丙合作 2 天可以完成全工程的$\frac{5}{9}$;丙、甲合作 2 天后,剩余工程由丙单独做 1 天即可完工. 那么由丙单独完成全部工程需要的天数是(B)

A.6
B.9
C.12
D.18

答案： 7.B 提示:设工程总量为1,并设甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为x,y,z,依题意,得$\begin{cases} 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{5}{9} \\ 2(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + \frac{1}{2} = 1 \end{cases},$解得$\begin{cases} x = 3 \\ y = 6 \\ z = 9 \end{cases},$即丙单独完成全部工程需要的天数为9天.故选B.

8. (2022·广东省深圳市第九届“鹏程杯”八年级邀请赛)某工程,甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的 a 倍,乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的 b 倍,丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的 c 倍,则$\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b + 1}+\frac{1}{c + 1}$的值是(A)

A.1
B.2
C.3
D.4
E.以上答案都不正确

答案： 8.A 提示:设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x天、y天、z天,根据题意得$,r = a,\frac{1}{y} = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{y + z} = \frac{ayz}{y + z} - \frac{1}{y + z} = \frac{ayz - 1}{y + z},$由此得出$u = \frac{xy + xz}{yz},a + 1 = \frac{xy + yz + xz}{yz},\frac{1}{a + 1} = \frac{yz}{xy + yz + xz};$同理可得$\frac{1}{b + 1} = \frac{xz}{xy + yz + xz},\frac{1}{c + 1} = \frac{xy}{xy + yz + xz};$所以$\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1} = \frac{yz}{xy + yz + xz} + \frac{xz}{xy + yz + xz} + \frac{xy}{xy + yz + xz} = 1.$故选A.

9. (2023·重庆巴南区自主招生)若关于 x 的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{x - 2}{3}＜x + 1,\\x + a\leq3\end{cases}$,至少有 2 个整数解,且关于 y 的分式方程$\frac{y - a}{y - 2}+\frac{1}{2 - y}=-1$的解是正整数,则所有满足条件的整数 a 的值之积是 ______ .

答案： 9.-3 提示$:\begin{cases} \frac{x - 2}{3} $＜ x + 1① \\ x + a \leq 3② \end{cases},解不等式①得x ＞ -2.5,解不等式②得$x \leq 3 - a,\therefore$原不等式组的解集为-2.5 ＜ x \leq 3 - a,
\because一元一次不等式组至少有2个整数解,
\therefore 3 - a \geq -1,解得a \leq 4,
\because\frac{y - a}{y - 2} + \frac{1}{2 - y} = -1,y - a - 1 = -(y - 2),解得y = \frac{3 + a}{2},
\because分式方程的解是正整数,
\therefore\frac{3 + a}{2} ＞ 0且$\frac{3 + a}{2} \neq 1,\therefore a ＞ -3$且$a \neq -1,\because$分式方程的解是正整数$,\therefore a = -1$或$3,\therefore$所有满足条件的整数a的值之积是-3.