《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

10. (江苏省高邮中学教改班招生)若关于 x 的方程$\frac{2x - b}{x - 1}=3$的解是非负数,则 b 的取值范围是b≤3且b≠2.

答案： $10.b \leq 3$且$b \neq 2 $提示:原方程可化为x = 3 - b,则由条件得$\begin{cases} 3 - b \geq 0 \\ \frac{3}{A} \leq \frac{1}{B} \end{cases}$因此$b \leq 3$且$b \neq 2.$

11. (2023 秋·上海杨浦区校级期中)将$\frac{3}{20}=\frac{1}{A}-\frac{1}{B},A,B$为非零自然数,则$A + B$的最大值是66.

答案： 11.66 提示$:\because$求A + B的最大值,就是使A和B尽量大$,\therefore\frac{1}{A}$尽量小,且大于并接近$\frac{3}{20},\because$分子为1,分母为自然数,且大于$\frac{3}{20}$的分数为$\frac{1}{6},$不妨设$\frac{1}{A} = \frac{1}{6},$此时A = 6,则$\frac{1}{B} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6},$此时$B = 60,\therefore A + B = 6 + 60 = 66.$

12. (2022·重庆江津区一模)2021 年 11 月 2 日,重庆市九龙坡区、长寿区分别新增 1 例新冠本土确诊. 当疫情出现后,各级政府及有关部门高度重视,坚决阻断疫情传播. 开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要,引进一条口罩生产线生产口罩,该产品有三种型号,通过市场调研后,按三种型号受消费者喜爱的程度分别对 A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价 20%,30%,45%出售(三种型号的成本相同). 经过一个月的经营后,发现 C 型产品的销量占总销量的$\frac{3}{7}$,且三种型号的总利润率为 35%. 第二个月,公司决定对 A 型产品进行升级,升级后 A 型产品的成本提高了 25%,销量提高了 20%;B 型、C 型产品的销量和成本均不变,且三种产品在第二个月成本基础上分别加价 20%,30%,50%出售,则第二个月的总利润率为36%.

答案： 12.36% 提示:由题意得:A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20\%,30\%,45\%,设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a,A产品原销量为x,B产品原销量为y,C产品原销量为z,由题意得$\frac{3}{7}(x + y + z) = z,$解得$\begin{cases} x = \frac{1}{3}z \\ y = z \end{cases},$第二个季度A产品的成本提高了25\%,成本为$(1 + 25\%)a = \frac{5}{4}a,B,C$的成本仍为a,A产品销量为$(1 + 20\%)x = \frac{6}{5}x,B$产品销量为y,C产品销量为$z,\therefore$第二个季度的总利润率为$\frac{0.3×\frac{5}{4}×\frac{6}{5}x + 30\%ay + 50\%az}{1.5x + y + z} = \frac{0.3×\frac{1}{3}z + 0.3z + 0.5z}{1.5×\frac{1}{3}z + z + z} = 36\%.$

13. 如图 15 - 1,第①个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为$a_{3}$,第②个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为$a_{4}·s·s$依次类推,由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为$a_{n}(n\geq3)$,则$a_{5}$的值是30;当$\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}+·s+\frac{1}{a_{n}}$的结果是$\frac{197}{600}$时,n 的值为199.

答案： 13.30 199 提示$:a_3 = 3×(3 + 1) = 3×4 = 12,a_4 = 4×(4 + 1) = 4×5 = 20,a_5 = 5×(5 + 1) = 5×6 = 30·s$由此,a_n = n(n + 1),当$\frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + ·s + \frac{1}{a_n} = \frac{197}{600},\frac{1}{3×4} + \frac{1}{4×5} + \frac{1}{5×6} + ·s + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} = \frac{197}{600},$即$\frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} = \frac{197}{600},$解得n = 199,经检验,n = 199是方程的解$.\therefore a_5 = 30,n = 199.$

14. (全国初中数学联赛)草原上有一片青草,生长速度一样快,70 头牛在 24 天内可以吃完这片青草,30 头牛在 60 天内可以吃完这片青草,则 20 头牛吃完这片青草需要的天数是96.

答案： 14.96 提示:设草原上有草量为a,每天长出量为b,并20头牛在x天内可以吃完这片青草.因为一头牛一天吃的草量相等,根据题意,可得方程组$:\frac{a + 24b}{70×24} = \frac{a + 60b}{30×60} = \frac{a + bx}{20x}.$由$\frac{a + 24b}{70×24} = \frac{a + 60b}{30×60},$得a = 480b,代入$\frac{a + 60b}{30×60} = \frac{a + bx}{20x}$中,得$\frac{3}{10}b = \frac{480 + x}{20x}b,$解得x = 96.

15. (1)(江苏省竞赛试题)$\frac{x + 1}{x + 2}+\frac{x + 8}{x + 9}=\frac{x + 2}{x + 3}+\frac{x + 7}{x + 8}$;
(2)(2023·上海中学自主招生)解方程:$\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{x^{2}+3x + 2}+\frac{1}{x^{2}+5x + 6}=\frac{3}{40}$.

答案： 15.解$:(1)x = -\frac{11}{2}$
(2)原方程可化为$\frac{1}{x(x + 3)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{3}{40},\frac{1}{3}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3}) + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{40},$通分得$\frac{3}{40} = \frac{1}{x(x + 3)},\therefore x(x + 3) = 40,$整理得$x^2 + 3x - 40 = 0,$分解因式得$(x + 8)(x - 5) = 0,\therefore x = -8$或x = 5.检验:当x = -8或x = 5时$,x(x + 1)(x + 2)(x + 3) \neq 0,\therefore x = -8$或x = 5是原方程的解.