《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2024·西安交大少年班自主招生)已知整数$x,y$满足$xy = 22 - 3x + y$,求$xy$的最大值.

答案： 19.解:$\because xy = 22 - 3x + y$，$\therefore x(y + 3)-y = 22$，$\therefore x(y + 3)-(y + 3)+3 = 22$，$\therefore (x - 1)(y + 3)=19$，$\because x$，$y$是整数，$\therefore\begin{cases}x - 1 = 1\\y + 3 = 19\end{cases}$或$\begin{cases}x - 1 = 19\\y + 3 = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x - 1 = - 1\\y + 3 = - 19\end{cases}$或$\begin{cases}x - 1 = - 19\\y + 3 = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 16\end{cases}$或$\begin{cases}x = 20\\y = - 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 18\\y = - 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0\\y = - 3\end{cases}$，则$xy = 32$或$xy = 0$或$xy = - 40$或$xy = 72$，故当$\begin{cases}x = - 18\\y = - 4\end{cases}$时，$xy=(-18)×(-4)=72$，此时$xy$的值最大，为$72$.

20. (全国初中数学联赛)设整数$a,b,c$为三角形的三边长,满足$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc = 13$,求符合条件且周长不超过$30$的三角形的个数(全等的三角形只计算$1$次).

答案： 20.解:由已知等式可得$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2}=26$①，令$a - b = m$，$b - c = n$，则$a - c = m + n$，其中$m$，$n$为自然数，于是等式①变为$m^{2}+n^{2}+(m + n)^{2}=26$，即$m^{2}+n^{2}+m· n = 13$②，由于$m$，$n$均为自然数，判断易知，使得等式②成立的$m$，$n$只有两组，
(1)当$m = 3$，$n = 1$时，$b = c + 1$，$a = b + 3 = c + 4$，又$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，$b + c＞a$即$(c + 1)+c＞c + 4$得$c＞3$，又$\because$三角形的周长不超过$30$，$\therefore a + b + c=(c + 4)+(c + 1)+c\leqslant30$，解得$c\leqslant\frac{25}{3}$，即$3＜c\leqslant\frac{25}{3}$，$\therefore c$可以取$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，对应可得到$5$个符合条件的三角形；
(2)当$m = 1$，$n = 3$时，$b = c + 3$，$a = b + 1 = c + 4$，又$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，$\therefore b + c＞a$，即$(c + 3)+c＞c + 4$解得$c＞1$，又$\because$三角形的周长不超过$30$，$\therefore a + b + c=(c + 4)+(c + 3)+c\leqslant30$，得$c\leqslant\frac{23}{3}$，$\therefore 1＜c\leqslant\frac{23}{3}$，$\therefore c$可以取值$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，对应可得到$6$个符合条件的三角形，因此共有$5 + 6 = 11$（个）.