《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2022 春·泰州市海陵区期末) 直线 $ MN $ 与直线 $ PQ $ 垂直相交于 $ O $ 点, 点 $ A $ 在射线 $ OP $ 上运动, 点 $ B $ 在射线 $ OM $ 上运动.

(1) 如图 1, 已知 $ AE,BE $ 分别是 $ \angle BAO $ 和 $ \angle ABO $ 角的平分线, 点 $ A,B $ 在运动的过程中, $ \angle AEB $ 的大小是否会发生变化? 若发生变化, 请说明变化的情况; 若不发生变化, 试求出 $ \angle AEB $ 的大小;
(2) 如图 2, 已知 $ AB $ 不平行 $ CD $, $ AD,BC $ 分别是 $ \angle BAP $ 和 $ \angle ABM $ 的角平分线, 又 $ DE,CE $ 分别是 $ \angle ADC $ 和 $ \angle BCD $ 的角平分线, 点 $ A,B $ 在运动的过程中, $ \angle CED $ 的大小是否会发生变化? 若发生变化, 请说明理由; 若不发生变化, 试求

出

其值.
(3) 如图 3, 延长 $ BA $ 至 $ G $, 已知 $ \angle BAO,\angle OAG $ 的角平分线与 $ \angle BOQ $ 的角平分线及延长线分别相交于点 $ E,F $, 在 $ \triangle AEF $ 中, 如果有两个角度数的比是 $ 3:2 $, 请直接写出 $ \angle ABO $ 的度数60°或72°_.

答案： 19.解:
(1)不变.
∵MN⊥PQ,
∴∠AOB=90°.
∵∠AOB+∠BAO+∠ABO=180°,
∴∠BAO+∠ABO=90°.
∵AE平分∠BAO,BE平分∠ABO,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO,
∴∠BAE+∠ABE=45°.
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°,
∴∠AEB=135°;
(2)不变.
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAP+∠ABM=180°+180°−90°=270°.
∵AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAP,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM.∠DAB+∠ABC=135°.
∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD=360°,
∴∠ADC+∠BCD=225°.
∵DE,CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BCD,
∴∠CDE+∠DCE=112.5°,
∴∠CED=67.5°;
(3)
∵AE平分∠BAO,AF平分∠OAG,
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠FAO=$\frac{1}{2}$∠OAG.
∵∠BAO+∠OAG=180°,
∴∠EAO+∠FAO=90°,即∠EAF=90°.
∵OE平分∠BOQ,
∴∠BOQ=2∠EOQ.
∵∠EOQ=∠E+∠OAE,∠BOQ=∠ABO+∠BAO,
∴∠ABO=2∠E;在△AEF中,
∵有两个角度数的比是3:2,故有4种情况:①∠EAF:∠E=3:2,∠E=60°,∠ABO=120°(不成立);②∠EAF:∠F=3:2,∠E=30°,∠ABO=60°;③∠F:∠E=3:2,∠E=36°,∠ABO=72°;④∠E:∠F=3:2,∠E=54°,∠ABO=108°(不成立).
∴∠ABO为60°或72°.

20. (2024·华师一附中丘成桐少年班选拔) 如图 1 - 9, 四边形 $ ABCD $ 的面积为 6, 将 $ BA,AD,DC,CB $ 分别延长得到新的四边形 $ EFGH $, 使得 $ AE = 3BA,DH = 3AD,CG = 3DC,BF = 3CB $, 求四边形 $ EFGH $ 的面积.

答案：
20.解:如图1.4所示,连BD,DE,BG,不妨设$S_{△ABD}=a,S_{△BCD}=b,$
∵AE=3AB,DH=3AD,
∴$S_{△ADE}=3S_{△ABD}=3a,S_{△DHE}=3S_{△ADE}=9a,$
∴$S_{△AHE}=S_{△ADE}+S_{△DHE}=3a+9a=12a,$同理可得$S_{△CFG}=12b,$则$S_{△AHE}+S_{△CFG}=12(a+b)=12S_{四边形ABCD},$同理连接AC,AF,CH,可得$S_{△DHG}+S_{△BEF}=12S_{四边形ABCD},$
∴$S_{四边形EFGH}=S_{△AHE}+S_{△CFG}+S_{△DHG}+S_{△BEF}+S_{四边形ABCD}=25S_{四边形ABCD}$由题可知$S_{四边形ABCD}=6,$
∴$S_{四边形EFGH}=25×6=150.$