《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

7. (四川省竞赛)如图4-7,在△ABC中,CB ＞ CA,∠BAC = 80°,D为AB上一点,满足CB - CA = BD,I为△ABC三条角平分线的交点,则∠IDA = (B)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

答案： 7.B 提示:如图4 - 7,在CB上取点A1,使得CA1 = CA,连接IA1,IA,AD,CI,BI,则BD=BA,易证△ACI≌△A1CI,△A1BI≌△DBI,故AI=A1I=DI,
∴∠IDA=∠IAD=$\frac{1}{2}$∠DAC=40°.

8. (2022春·重庆沙坪坝区期末)如图4-8,在△ABC中,AB ＞ AC,AD是△ABC的角平分线,点E在AC上,过点E作EF⊥BC于点F,延长CB至点G,使BG = 2FC,连接EG交AB于点H,EP平分∠GEC,交AD的延长线于点P,连接PH,PB,PG,若∠C = ∠EGC + ∠BAC,则下列结论:①∠APE = $\frac{1}{2}$∠AHE;②PE = HE;③AB = GE;④S△PAB = S△PGE,其中正确的有 (D)

A.①②③
B.①②③④
C.①②
D.①③④

答案：
8.D 提示:如图4 - 8,过点P分别作GE,AB,AC的垂线,垂足分别为I,M,N,

∵AP平分∠BAC,PM⊥AB,PN⊥AC,
∴PM=PN,∠PAB=∠PAC.
∵PE平分∠GEC,PN⊥AC,PI⊥EH,
∴PI=PN,∠PEH=∠PEN,
∴PM=PN=PI,
∴∠PMH=∠PIH.
∵PH=PH,
∴∠PHM=∠PHI,
∴Rt△PMH≌Rt△PIH(HL),
∴∠PHM=∠PHI.设∠PEH=α,∠PAB=β,对于△APE,∠PEC=∠PAE+∠APE,
∴∠APE=α - β,对于△AEH,∠HEC=∠BAC+∠AHE,
∴∠AHE=2α - 2β,
∴∠APE=$\frac{1}{2}$∠AHE;故①正确;
∵∠AHE+∠MHE,∠PHM=∠PHI,
∴∠PHE=90° - α+β,
∴∠HPE=180° - α - (90° - α+β)=90° - β,
∴∠PHE≠∠HPE,即PE≠HE;故②不正确;在射线AC上截取CK=EC,延长BC到点L,使得CL=FC,连接BK,LK,
∵∠ECF=∠LCK,
∴△EFC≌△KLC(SAS),
∴EF=LK,∠L=∠EFC=90°.
∵BG=2FC,FC=CL,
∴BG=FL,
∴FG=BL,
∴△GEF≌△BKL(SAS),
∴∠EGF=∠KBC,GE=BK.
∵∠ACB=∠EGC+∠BAC,∠ACB=∠KBC+∠BKC,
∴∠BAC=∠BKC,
∴AB=BK,
∴GE=AB,故③正确;
∵S△PAB=$\frac{1}{2}$·AB·PM,S△PGE=$\frac{1}{2}$GE·PI.又
∵AB=GE,PM=PI,
∴S△PAB=S△PGE.故④正确.故选D.

9. (2023春·福州市台江区期末)如图4-9,在△ABC中,∠A = 60°(∠ABC ＞ ∠A),角平分线BD,CE交于点O,OF⊥AB于点F.下列结论:①S△BOC : S△BOE = BC : BE;②∠EOF = ∠ABC - ∠A;③BE + CD = BC;④S四边形BEDC = 2S△BOC + S△EDO.其中正确结论是①③④.

答案： 9.①③④ 提示:过O作OH⊥BC于H,
∵BD平分∠ABC,OF⊥AB,
∴OF=OH.S△BOC:S△BOE=$\frac{\frac{1}{2}BC·OH}{\frac{1}{2}BE·OF}$=$\frac{BC}{BE}$,故①正确;
∵∠A = 60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,且BD,CE相交于点O,
∴∠OBC=∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠EOF=∠BOE - ∠BOF.
∵∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠BOF=90° - $\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠EOF=60° - (90° - $\frac{1}{2}$∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠ABC - 30°=$\frac{1}{2}$(∠ABC - 60°)=$\frac{1}{2}$(∠ABC - ∠A),故②错误;在BC上截取BM=BE,连接OM,可证△BOE≌△BOM(SAS),
∴OE=OM,∠EOB=∠BOM=60°.
∵∠COD=∠EOB=60°,
∴∠COM=180° - ∠BOM - ∠COD=60°,
∴∠COD=∠COM,
∴△COD≌△COM(ASA),
∴CD=CM,
∴BE+CD=BC,故③正确;
∵△BOE≌△BOM,△COD≌△COM,
∴S△BOE=S△BOM,S△COD=S△COM,
∴S△BOC=S四边形BEDC=S△BOE+S△COD+S△EDO=S△BOM+S△COM=S△BOC+S△EDO,故④正确.

10. (2023秋·孝昌县期中)如图4-10,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,△ABC的角平分线AD,BE相交于点O,过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点G,若BD = 3,AG = 8,则AB = 11.

答案： 10.11 提示:
∵△ABC的角平分线AD,BE相交于点O,
∴∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC.∠AOB=180° - ∠BAO - ∠ABO=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠BAC)=180° - 45°=135°,
∴∠BOD=45°.
∵OF⊥AD,
∴∠DOF=90°,
∴∠BOF=135°,
∴∠BOF=∠BOA,△ABO≌△FBO(ASA),
∴AO=FO,AB=BF.
∵∠ADC+∠DAC=90°=∠ADC+∠F,
∴∠F=∠DAC.又
∵∠AOF=∠FOD,
∴△AOG≌△FOD(ASA),
∴OD=OG,DF=AG.
∵BD=3,AG=DF=8,
∴BF=BD+DF=11,
∴AB=11.

11. (2024·广东省拔尖创新人才学科知识竞赛＜初赛＞)如图4-11,△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处,BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线,若∠P = 30°,∠A'EB = 20°,则∠A'FC = 140°.

答案： 11.140° 提示:
∵BP,CP分别是∠ABD,∠ACD平分线,
∴∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD,∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCA.又
∵∠PBD=∠P+∠PCB,
∴∠P=∠PBD - ∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ABD - $\frac{1}{2}$∠BCA=$\frac{1}{2}$(∠ABD - ∠ACB).又
∵∠ABD=∠A+∠ACB,
∴∠ABD - ∠ACB=∠A,
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠A=2∠P=2×30°=60°.由题意得∠A′=∠A=60°,设AB与A′F交于点M,
∴∠AMF=∠A′+∠A′EB=60°+20°=80°,
∴∠A′FC=∠A+∠AMF=60°+80°=140°.

12. (2024·宁波鄞州中学夏令营)如图4-12,在△ABC中,中线CM与高线CD三等分∠ACB,则∠B的度数为30°.

答案： 12.30° 提示:根据题意得CD⊥AB,AM=MB.∠ACD=∠MCD=∠BCM.又
∵CD⊥AM,
∴AD=DM=$\frac{1}{2}$AM.过点M作MN⊥BC于点N.
∵∠MCD=∠NCM,
∴DM=NM,于是NM=$\frac{1}{2}$MB.故在Rt△MNB中,∠B=30°.

13. (2023-2024学年长沙市雅礼教育集团创新拔尖选拔赛)如图4-13,CO,BO是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的角平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM = ON.下列结论中正确的有3个.
①∠PAO = ∠QAO;②∠AOB = $\frac{1}{2}$∠ACB;③2∠COB = 180° + ∠CAB;④∠PAQ + 2∠COB = 180°.

答案： 13.3 提示:
∵OM⊥AP,ON⊥AQ,OM=ON,
∴AO平分∠PAQ,
∴∠PAO=∠QAO=$\frac{1}{2}$∠PAQ,故①正确;
∵BO平分∠CBQ,
∴∠OBQ=$\frac{1}{2}$∠CBQ.
∵∠CBQ=∠PAQ+∠ACB,∠OBQ=∠QAO+∠AOB,
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠ACB,故②正确;过O作OE⊥BC于E,
∴∠OMC=∠OEC=90°,OM=OE,
∴Rt△COM≌Rt△COE(HL),
∴∠COM=∠COE,即∠COE=$\frac{1}{2}$∠MOE,同理:∠BOE=$\frac{1}{2}$∠EON,
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠MON,即∠MON=2∠COB.
∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO=360°,∠AMO=∠ANO=90°,
∴∠CAB+∠MON=180°,即2∠COB+∠CAB=180°,故③错误;
∴∠PAQ+2∠COB=180°,故④正确.