《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (1)若解分式方程$\frac{2x}{x + 1}=\frac{k + 1}{x^{2}+x}+\frac{x + 1}{x}$有增根,求 k 的值;
(2)当 k 为何值时,关于 x 的方程$\frac{k}{(x + 1)(x - 2)}=\frac{x}{x + 1}-\frac{x - 1}{x - 2}$的解是正数?

答案： 16.解:
(1)原方程去分母,方程两边同时乘以x(x + 1),得$2x^2 = k + 1 + (x + 1)^2,$整理得$x^2 - 2x - k - 2 = 0.$这是一个关于x的一元二次方程.因为原分式方程有增根,根据增根的意义,如果方程有增根,则它使分母为零,即x(x + 1) = 0,所以x可以为0或-1.若x = 0,则-k - 2 = 0,得k = -2.若x = -1,则$(-1)^2 - 2×(-1) - k - 2 = 0,$得$k = 1.\therefore k$的值为-2或1.
(2)原方程去分母,方程左右两边同时乘以(x + 1)(x - 2),得k = x(x - 2) - (x - 1)(x + 1),整理得$k = -2x + 1,\therefore x = \frac{1 - k}{2}.$因为方程解为正数$,\therefore x = \frac{1 - k}{2} ＞ 0,$同时方程既然有解,则满足$x \neq 2,$即不是增根,所以可以得到$\begin{cases} \frac{1 - k}{2} ＞ 0 \\ \frac{1 - k}{2} \neq 2 \end{cases},$解得k ＜ 1且$k \neq -3.$

17. (上海市高中理科实验班招生)已知$a^{2}-a - 1 = 0$,且$\frac{2a^{4}-3xa^{2}+2}{a^{3}+2xa^{2}-a}=-\frac{93}{112}$,求 x 的值.

答案： 17.解:由条件得$a - \frac{1}{a} = 1,$又$\frac{2(a^2 + \frac{1}{a^2}) - 3x}{(a - \frac{1}{a}) + 2x} = \frac{93}{112},$即$\frac{2×(1 + 2) - 3x}{1 + 2x} = \frac{93}{112},$解得$x = \frac{51}{10}$经检验$x = \frac{51}{10}$是此方程的解.故$x = \frac{51}{10}$

18. (2022·湖北黄冈中学自主招生)若实数 m 使关于 x 的分式方程$\frac{x + m}{x - 5}+\frac{2x}{5 - x}=1$有正整数解,且使关于 y 的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{y + 1}{5}\geq\frac{y}{2}-1,\frac{y + m}{3}＜2y + 1\end{cases}$有且只有 4 个整数解,求符合条件的所有整数 m 的和.

答案： 18.解:解不等式组$\begin{cases} \frac{y + 1}{5} \geq \frac{y}{2} - 1 \\ \frac{y + m}{3} $＜ 2y + 1 \end{cases},得\begin{cases} y \leq 4 \\ y ＞$ \frac{m - 3}{5} \end{cases},\because$不等式组只有4个整数解$,0 \leq \frac{m - 3}{5} ＜ 1,\therefore 3 \leq m ＜ 8,$解分式方程$\frac{x + m}{x - 5} + \frac{2x}{5 - x} = 1$得$x = \frac{m + 5}{2},$又$\because$分式方程有正整数解$,\therefore m + 5$是2的倍数$,\because x \neq 5,\therefore m \neq 5,\therefore$满足条件的整数m的值为$3,7,\therefore$满足条件的整数m的值之和是10.