《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (上海中学自主招生)已知 $ \frac{1}{4}(b - c)^{2}=(a - b)(c - a) $,且 $ a \neq 0 $,求 $ \frac{b + c}{a} $ 的值.

答案： 16.解$\because(b - c)^{2}=4(a - b)(c - a),$即$b^{2}-2bc + c^{2}=4ac - 4bc + 4ab - 4a^{2},\therefore4a^{2}+b^{2}+c^{2}-4ac - 4ab + 2bc=0,(b^{2}+2bc + c^{2})-4a(b + c)+4a^{2}=0,[2a-(b + c)]^{2}=0,\therefore2a = b + c,$又$a≠0,\therefore\frac{b + c}{a}=2.$

17. (全国初中数学竞赛)设实数 $ a,b $ 满足 $ 3a^{2}-10ab + 8b^{2}+5a - 10b = 0 $,求 $ u = 9a^{2}+72b + 2 $ 的最值.

答案： 17.解:由$3a^{2}-10ab + 8b^{2}+5a - 10b=0,$可得$(a - 2b)(3a - 4b + 5)=0,\therefore a - 2b = 0$或$3a - 4b + 5=0,\therefore①$当a - 2b = 0时$,u=9a^{2}+72b + 2=36b^{2}+72b + 2=36(b + 1)^{2}-34,\therefore$当b=-1时$,u_{最小值}=-34,$此时$a=-2,b=-1,\therefore②$当3a - 4b + 5=0时$,u=9a^{2}+72b + 2=16b^{2}+32b + 27=16(b + 1)^{2}+11,\therefore$当b=-1时$,u_{最小值}=11,$此时$a=-3,b=-1,\thereforeu$的最小值为 - 34.

18. (清华大学附中自主招生改编)已知 x,y 为实数,且满足$ \begin{cases}(x - 1)^{3}+2024(x - 1)=-1\y - 1)^{3}+2024(y - 1)=1\end{cases} ,$求 x + y 的值.

答案： 设$f(t)=t^{3}+2024t$，
则$f(t)$是奇函数，因为$f( - t)=( - t)^{3}+2024( - t)= - (t^{3}+2024t)= - f(t)$。
对$f(t)$求导得$f^\prime(t)=3t^{2}+2024\gt0$，所以$f(t)$在$R$上单调递增。
已知$\begin{cases}(x - 1)^{3}+2024(x - 1)= - 1\\(y - 1)^{3}+2024(y - 1)=1\end{cases}$，
即$\begin{cases}f(x - 1)= - 1\\f(y - 1)=1\end{cases}$，
所以$f(x - 1)= - f(y - 1)=f(1 - y)$。
因为$f(t)$单调递增，所以$x - 1 = 1 - y$，
则$x + y = 2$。
综上，$x + y$的值为$2$。

19. (2023 春·佛山市顺德区期中)现有长与宽分别为 $ a,b $ 的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图 1 的图形,用四个这样的小长方形拼成如图 2 的图形,请认真观察图形,解答下列问题:

(1)根据图中条件,请写出图 1 和图 2 所验证的关于 $ a,b $ 的关系式:(用含 $ a,b $ 的代数式表示出来)
图 1 表示:(a+b)^2=a^2+b^2+2ab;
图 2 表示:(a+b)^2=(a-b)^2+4ab;
(2)根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
①若 $ x + y = 4,x^{2}+y^{2}=10 $,求 $ xy $ 的值;
②请直接写出下列问题答案:
若 $ 2m + 3n = 5,mn = 1 $,则 $ 6n - 4m = $±2;
若 $ (7 - m)(5 - m)=9 $,则 $ (7 - m)^{2}+(5 - m)^{2}= $54;
(3)如图 3,长方形 $ ABCD $ 中,$ AD = 2CD = 2x,AE = 44,CG = 30 $,长方形 $ EFGD $ 的面积是 200,四边形 $ NGDH $ 和 $ MEDQ $ 都是正方形,四边形 $ PQDH $ 是长方形. 延长 $ MP $ 至 $ T $,使 $ PT = PQ $,延长 $ MF $ 至 $ O $,使 $ FO = FE $,过点 $ O,T $ 作 $ MO,MT $ 的垂线,两垂线相交于点 $ R $,求四边形 $ MORT $ 的面积. (结果必须是一个具体的数值)

答案： 18.解:
(1)图1中,由图可知$S_{大正方形}=(a + b)^{2},S_{组成大正方形的四部分的面积之和}=a^{2}+b^{2}+2ab,$由题意得$S_{大正方形}=S_{组成大正方形的四部分的面积之和},$即$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,$故答案为$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab. $图2中,由图可知$S_{大正方形}=(a + b)^{2},S_{小正方形}=(a - b)^{2},S_{四个长方形}=4ab,$由题意可知$,S_{大正方形}=S_{小正方形}+S_{四个长方形},$即$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab,$故答案为$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab.(2)\because(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy,\therefore xy=\frac{1}{2}[(x + y)^{2}-(x^{2}+y^{2})],\therefore x + y=4,x^{2}+y^{2}=10,\therefore xy=\frac{1}{2}×(16 - 10)=3;\because$由图2可得$(2m - 3n)^{2}=(2m + 3n)^{2}-24mn,\therefore2m + 3n=5,mn=1,\therefore(2m - 3n)^{2}=5^{2}-24×1=1,\therefore2m - 3n=\pm1,\therefore6 - 4m=\pm2;$由图1可得$[(7 - m)-(5 - m)]^{2}=(7 - m)^{2}+(5 - m)^{2}-2(7 - m)(5 - m),\therefore(7 - m)(5 - m)=9.\because$原式$=4×9 + 2×9=54,\therefore$故答案为$22.(3)\because ED = AD - AE,DG = DC - CG,\therefore ED = 2x - 44,DG = x - 30,\therefore MT = MO=(2x - 44)+(x - 30),\because ab = 400,a - b = 16,\therefore(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=256,\therefore a^{2}+b^{2}=256 + 2ab=1056,\therefore$四边形MORT的面积$=MT^{2}=(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=1056 + 800=1856.$