《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

17. (2022 秋·余庆县期中) 动手操作, 探究:
探究一: 三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系?
已知: 如图 (1), 在 $ \triangle ADC $ 中, $ DP,CP $ 分别平分 $ \angle ADC $ 和 $ \angle ACD $, 试探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 的数量关系.
探究二: 若将 $ \triangle ADC $ 改为任意四边形 $ ABCD $ 呢?
已知: 如图 (2), 在四边形 $ ABCD $ 中, $ DP,CP $ 分别平分 $ \angle ADC $ 和 $ \angle BCD $, 试利用上述结论探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A + \angle B $ 的数量关系. (写出说理过程)
探究三: 若将上题中的四边形 $ ABCD $ 改为六边形 $ ABCDEF $ (图 (3)) 呢? 请直接写出 $ \angle P $ 与 $ \angle A + \angle B + \angle E + \angle F $ 的数量关系: _.

答案： 17.提示:探究一:
∵DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD,
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∴∠DPC=180°−∠PDC−∠PCD=180°−$\frac{1}{2}$∠ADC−$\frac{1}{2}$∠ACD=180°−$\frac{1}{2}$(∠ADC+∠ACD)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A;探究二:由探究一知∠DPC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ADC+∠BCD)=180°−$\frac{1}{2}$(360°−∠A−∠B)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠B);探究三:六边形ABCDEF的内角和为(6−2)·180°=720°,同理∠DPC=180°−$\frac{1}{2}$(∠EDC+∠ACD)=180°−$\frac{1}{2}$(720°−∠A−∠B−∠E−∠F)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°,即∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°.

18. (2024 春·常州市天宁区期中) 如果三角形的两个内角 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 满足 $ 2\alpha + \beta = 90^{\circ} $, 那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.
(1) 如图 1, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线. 求证: $ \triangle ABD $ 是“准直角三角形”.
(2) 关于“准直角三角形”, 下列说法;
①在 $ \triangle ABC $ 中, 若 $ \angle A = 100^{\circ},\angle B = 70^{\circ},\angle C = 10^{\circ} $, 则 $ \triangle ABC $ 是准直角三角形;
②若 $ \triangle ABC $ 是“准直角三角形”, $ \angle C ＞ 90^{\circ},\angle A = 60^{\circ} $, 则 $ \angle B $ 只能为 $ 20^{\circ} $;
③“准直角三角形”一定是钝角三角形.
其中, 正确的是①③_. (填写所有正确结论的序号)
(3) 如图 2, $ B,C $ 为直线 $ l $ 上两点, 点 $ A $ 在直线 $ l $ 外, 且 $ \angle ABC = 50^{\circ} $, 若 $ P $ 是 $ l $ 上一点, 且 $ \triangle ABP $ 是“准直角三角形”, 请直接写出 $ \angle APB $ 的度数.

答案：
18.提示:
(1)
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠A=90°.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD,
∴2∠ABD+∠A=90°,
∴△ABD是“准直角三角形”;
(2)①
∵∠A=100°,
∴∠C+∠B=180°−100°=80°.
∵∠B=70°,∠C=10°,
∴2∠C+∠B=90°,
∴△ABC是“准直角三角形”,
∴①正确;②
∵∠C＞90°,
∴2∠C+∠A≠90°,2∠C+∠B≠90°,2∠A+∠C≠90°,2∠B+∠C≠90°.若△ABC是“准直角三角形”，只能是2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°.
∵∠A=60°,∠B=20°,
∴2∠A+∠B=140°≠90°,2∠B+∠A=100°≠90°,
∴∠C＞90°,∠A=60°,则∠B=20°作为条件,与△ABC是“准直角三角形”相矛盾,
∴②错误;③三角形为“准直角三角形”,则它的两个内角α与β满足2α+β=90°,
∴α+β=90°−α.设它的第三个内角为γ,则γ=180°−(α+β)=180°−(90°−α)=90°+α,
∴γ一定是钝角,
∴“准直角三角形”一定是钝角三角形,
∴③正确.
(3)如图1−3,①若点P₁在点B左侧,△ABP₁是“准直角三角形”,且2∠BAP₁+∠AP₁B=90°,
∵∠BAP₁+∠AP₁B=∠ABC=50°,
∴∠BAP₁+50°=90°,
∴∠BAP₁=40°,
∴∠AP₁B=∠ABC - ∠BAP₁=10°.②若点P₂在点B左侧,△ABP₂是“准直角三角形”,且2∠AP₂B+∠BP₂A=90°,
∵∠AP₂B+∠BP₂A=∠ABC=50°,
∴2∠AP₂B+50°=90°,
∴∠AP₂B=20°;③若点P₃在点B右侧,△ABP₃是“准直角三角形”,且2∠BAP₃+∠ABP₃=90°,
∵∠ABP₃=∠ABC=50°,2∠BAP₃+50°=90°,
∴∠BAP₃=20°,∠AP₃B=180°−∠ABP₃−∠BAP₃=180°−50°−20°=110°;④若点P₄在点B右侧,△ABP₄是“准直角三角形”,且2∠AP₄B+∠ABP₄=90°,
∵∠ABP₄=∠ABC=50°,
∴2∠AP₄B+50°=90°,
∴∠AP₄B=20°.综上所述，∠APB的度数为10°或40°或110°或20°.