《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2023 秋·黄石市黄石港区期末)如图 9 - 18,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点. $ A,B $ 两点的坐标分别为 $ A(m,0) $,$ B(0,n) $,且 $ |m - n - 3| + \sqrt{2n - 6} = 0 $,点 $ P $ 从 $ A $ 出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线 $ AO $ 匀速运动,设点 $ P $ 运动时间为 $ t \ s $.
(1)求 $ OA,OB $ 的长;
(2)连接 $ PB $,若 $ \triangle POB $ 的面积不大于 3 且不等于 0,求 $ t $ 的范围;
(3)过 $ P $ 作直线 $ AB $ 的垂线,垂足为 $ D $,直线 $ PD $ 与 $ y $ 轴交于点 $ E $,在点 $ P $ 运动的过程中,是否存在这样的点 $ P $,使 $ \triangle EOP\cong\triangle AOB $? 若存在,请求出 $ t $ 的值;若不存在,请说明理由.

答案：
19.解:
(1)
∵|m-n-3|+$\sqrt{2n-6}$=0,
∴m-n-3=0,2n-6=0,解得:n=3,m=6,
∴OA=6,OB=3;
(2)分为两种情况:①当P在线段OA上时,如图9-7图1,AP=t,PO=6-t,
∴△BOP的面积S=$\frac{1}{2}$×(6-t)×3=9-$\frac{3}{2}$t,
∵若△POB的面积不大于3且不等于0,
∴0＜9-$\frac{3}{2}$t≤3,解得:4≤t＜6;②当P在线段AO的延长线上时,如图9-7图2,AP=t,PO=t-6,
∴△BOP的面积S=$\frac{1}{2}$×(t-6)×3=$\frac{3}{2}$t-9,
∵若△POB的面积不大于3且不等于0,
∴0＜$\frac{3}{2}$t-9≤3,解得:6＜t≤8;即t的范围是4≤t≤8且t≠6;
(3)分两种情况①当OP=OA=6时,E和B重合.但此时PE与AB不垂直,所以此情况不存在;②当OP=OB=3时,分为两种情况:图9-7中t=3,图4中AP=6+3=9,即t=9;即存在这样的点P,使△EOP≅△AOB,t的值是3或9.
　　

20. (深圳自主招生)在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图 1,已知 $ \triangle ABC $,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle ABC = 45^{\circ} $,分别以 $ AB,BC $ 为边向外作 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle BCE $,且 $ DA = DB $,$ EB = EC $,$ \angle ADB = \angle BEC = 90^{\circ} $,连接 $ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $. 探究线段 $ DF $ 与 $ EF $ 的数量关系.
小慧同学的思路是:过点 $ D $ 作 $ DG\perp AB $ 于 $ G $,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是 $ \angle ABC = 30^{\circ} $,$ \angle ADB = \angle BEC = 60^{\circ} $.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中 $ DF $ 与 $ EF $ 的数量关系;
(2)如图 2,若 $ \angle ABC = 30^{\circ} $,$ \angle ADB = \angle BEC = 60^{\circ} $,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化? 请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图 3,若 $ \angle ADB = \angle BEC = 2\angle ABC $,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化? 请写出你的猜想并加以证明.

答案：
20.解:
(1)DF=EF.
(2)猜想:DF=FE.证明:如图9-8图1,过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90°.
∵DA=DB,∠ADB=60°,
∴AG=BG,△DBA是等边三角形.
∴DB=BA.
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=BG,
∴Rt△DBG≅Rt△BAC(HL).
∴DG=BC.
∵BE=EC,∠BEC=60°,
∴△EBC是等边三角形
∴BC=BE,∠CBE=60°,
∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,
∴△DFG≅△EFB(AAS).
∴DF=EF.
(3)猜想:不发生变化.如图9-8图2,过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90°.
∵DA=DB,
∴AH=BH,∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°,
∴HC=HB.
∴△HBE≅△HCE(SSS).
∴∠2=∠3,∠4=∠BEH.
∴HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°,∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°.
∴DB//HE,DH//BE.
∴四边形DHEB是平行四边形.
∴DF=EF.