《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

17. (2023春·晋江市期中)若任意一个代数式,在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内,则称这个代数式是这个范围的“和谐代数式”.例如:关于$x$的代数式$x^{2}$,当$-1\leqslant x\leqslant1$时,代数式$x^{2}$在$x = \pm1$时有最大值,最大值为1;在$x = 0$时有最小值,最小值为0,此时最值1和0均在$-1\leqslant x\leqslant1$(含端点)这个范围内,则称代数式$x^{2}$是$-1\leqslant x\leqslant1$的“和谐代数式”.
(1)若关于$x$的代数式$|x - 1|$,当$-2\leqslant x\leqslant2$时,取得的最大值为3;最小值为0;代数式$|x - 1|$不是(填“是”或“不是”)$-2\leqslant x\leqslant2$的“和谐代数式”;
(2)以下关于$x$的代数式,是$-2\leqslant x\leqslant2$的“和谐代数式”的是②(填序号);
①$-x + 1$;②$-x^{2}+2$;③$x^{2}+|x|-4$;
(3)若关于$x$的代数式$\frac {a}{|x|+1}-2$是$-2\leqslant x\leqslant2$的“和谐代数式”,求$a$的最大值和最小值.

答案： 17.解：$(1)\because -2 \leqslant x \leqslant 2,\therefore -3 \leqslant x \leqslant 1,\therefore 0 \leqslant $|x|$ \leqslant 3,\therefore $|x-1|的最大值为3最小值为0,显然|x-1|的取值范围不在$-2 \leqslant x \leqslant 2$范围内,故$\textcircled{1}$不是和谐代数式$.\because -x^{2}+2$中,x=0时有最大值为2,x=2时有最小值为$-2,\therefore -2 \leqslant -x^{2}+2 \leqslant 2.$显然刚好在$-2 \leqslant x \leqslant 2$范围内,故$\textcircled{2}$是和谐代数式$.\because x^{2}+$|x|-4中,x=0时有最小值-4,x=2或-2时有最大值$2.\therefore -4 \leqslant x^{2}+$|x|$-4 \leqslant 2.$显然不在$-2 \leqslant x \leqslant 2$范围内,故$\textcircled{3}$不是和谐代数式.故选$\textcircled{2}.(3)\because -2 \leqslant x \leqslant 2,\therefore 0 \leqslant $|x|$ \leqslant 2,\therefore 1 \leqslant $|x|$+1 \leqslant 3,\textcircled{1}$当$a \geqslant 0$时,x=0时$,\frac{a}{|x|+1}-2$有最大值为a-2,x=2或-2时$,\frac{a}{|x|+1}-2$有最小值为$\frac{a}{3}-2,$所以可得不等式组$\begin{cases} a-2 \leqslant 2 \\ \frac{a}{3}-2 \geqslant -2 \end{cases},$解得$a \leqslant 4,a \geqslant 0,$所以$0 \leqslant a \leqslant 4.\textcircled{2}$当a＜0时,x=0时$,\frac{a}{|x|+1}-2$有最大值为$\frac{a}{3}-2,x=2$或-2时$,\frac{a}{|x|+1}-2$有最大值为$\frac{a}{3}-2,$所以可得不等式组$\begin{cases} \frac{a}{3}-2 \geqslant -2 \\ a-2 \leqslant 2 \end{cases},$解得$a \geqslant 0,a \leqslant 12,$且a＜0,所以a无解,综上$\textcircled{1}\textcircled{2}$可得$0 \leqslant a \leqslant 4,$所以a的最大值为4,最小值为0.

18. (杭州学军中学自主招生)已知正实数$x,y,z$满足:$xy + yz + zx\neq1$且$\frac {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}{xy}+\frac {(y^{2}-1)(z^{2}-1)}{yz}+\frac {(z^{2}-1)(x^{2}-1)}{zx}=4$.
(1)求$\frac {1}{xy}+\frac {1}{yz}+\frac {1}{zx}$的值;
(2)求证:$9(x + y)(y + z)(z + x)\geqslant8xyz(xy + yz + zx)$.

答案： 18.
(1)解：由等式$(x^{2}-1)(y^{2}-1)+(y^{2}-1)(z^{2}-1)+(z^{2}-1)(x^{2}-1)=4,$去分母得$z(x^{2}-1)(y^{2}-1)+x(y^{2}-1)(z^{2}-1)+y(z^{2}-1)(x^{2}-1)+xyz(x^{2}-1)(y^{2}-1)(z^{2}-1)=4xyz,$即$xyz[x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}-(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2})+x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xyz]+(x+y+z)-xyz=0,\because [xyz-(x+y+z)](xy+yz+zx)-1=0,\therefore xyz+yz+zx \ne 1,\therefore xyz+yz+zx-1 \ne 0,\therefore$原式$=\frac{x+y+z}{xyz}=1. $
(2)证明：由
(1)得xyz=x+y+z,又$\because x,y,z$为正实数$,\therefore 9(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz(xy+yz+zx)=9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)=x(y^{2}+z^{2})+y(z^{2}+x^{2})+z(x^{2}+y^{2})-6xyz=x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2} \geqslant 0.\therefore 9(x+y)(y+z)(z+x) \geqslant 8xyz(xy+yz+zx).$注：$(x+y)(y+z)(z+x)=x^{2}y+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+z^{2}x+zx^{2}+2xyz;(x+y+z)(xy+yz+zx)=x^{2}y+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+z^{2}x+zx^{2}+3xyz=x(y^{2}+z^{2})+y(z^{2}+x^{2})+z(x^{2}+y^{2})+2xyz.$