《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

17. (2023·安徽省淮南市八年级竞赛)1月份,甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品,甲商店用$1050$元购进的商品数量比乙商店用$1260$元购进的数量少$10$件.
(1)求该商品的单价;
(2)2月份,两商店以单价$a$元/件(低于1月份单价)再次购进该商品,购进总价均不变.①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小;②已知$a = 15$,甲商店1月份以每件$30$元的标价售出了一部分,剩余部分与2月份购进的商品一起售卖,2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,第二次在第一次基础上再降价2元全部售出,两个月的总利润为$1050$元,求甲商店1月份可能售出该商品的数量.

答案： 17.解:
(1) 设该商品的单价为$x$元. 由题意, 得$\frac{1050}{x} + \frac{1260 - 10}{x} = 21$, 经检验, $x = 21$是方程的解且符合题意.
∴ 该商品的单价为21元.
(2) ①设2月份购进该商品的单价为$a$, 甲商店平均单价: $\frac{2100}{50 + \frac{1050}{a}} = \frac{2100a}{50a + 1050} = \frac{42a}{a + 21}$, 乙商店平均单价: $\frac{2520}{60 + \frac{1260}{a}} = \frac{2520a}{60a + 1260} = \frac{42a}{a + 21}$,
∴ 甲商店平均单价 = 乙商店平均单价 ②2月份购进数量为$1050 ÷ 13 = 70$(件). 设一月份卖$f m$件, 2月份第一次卖了$n$件. 由题意, 得$30m + 27n + 25(120 - m - n) - 2100 = 1050$, 化简, 得$5m + 2n = 150$.
∴ $n = 75 - \frac{5}{2}m$,
∵ $75 - \frac{5}{2}m \leq \frac{1}{2}m$,
∴ $m \geq 25$,
∵ $m$, $n$都为正整数,
∴ $m = 26$或28.
∴ 甲商店1月份可能卖了26或28件.

18. (2023·湖南邵阳八年级竞赛)同学们学过分式方程,分式方程有一步必不可少的验根.下面给出一些方式方程,它们都有一个共同的特点:若$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$,则方程的解为$2$或$\frac{1}{2}$;若$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$,则方程的解为$3$或$\frac{1}{3}$;若$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$,则方程的解为$4$或$\frac{1}{4}$.
请你用观察出的特点解决以下问题:
(1)若$x+\frac{1}{x}=6+\frac{1}{6}$,则方程的解为$x=$6或$\frac{1}{6}$;
(2)苦$x+\frac{1}{x + 1}=9\frac{1}{10}$,求此方程的解;
(3)若$x+\frac{1}{9x - 6}=\frac{a^{2}+2a + 1}{3a}$,求此方程的解(用含有$a$的代数式表示).

答案： 18.解:
(1) 若$x + \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{6}$, 则方程的解为$x = 6$或$\frac{1}{6}$.
(2)
∵ $x + \frac{1}{x + 1} = 9 + \frac{1}{10}$,
∴ $(x + 1) + \frac{1}{x + 1} = 10 + \frac{1}{10}$, 即$(x + 1) + \frac{1}{x + 1} = 10 + \frac{1}{10}$,
∴ $x + 1 = 10$或$x + 1 = \frac{9}{10}$, 解得$x = 9$或$x = - \frac{9}{10}$, 经检验, $x = 9$或$x = - \frac{9}{10}$是原方程的解.
(3)
∵ $x + \frac{1}{9x - 6} = \frac{a^2 + 2a + 1}{3a}$,
∴ $3x + \frac{1}{3x - 2} = a + \frac{1}{a}$,
∴ $3x - 2 = a$或$3x - 2 = \frac{1}{a}$, 解得$x = \frac{a + 2}{3}$或$x = \frac{2a + 1}{3a}$

19. (2023·渝北区校级自主招生)在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:已知:$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解:$\because\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4},\therefore\frac{x^{2}+1}{x}=4$,即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=4$,
$\therefore x+\frac{1}{x}=4,\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2 = 16 - 2 = 14$.
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“$k$”,将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x = 3y = 4z$,且$xyz\neq0$,求$\frac{x}{y + z}$的值.
解:令$2x = 3y = 4z = k(k\neq0)$,则$x=\frac{k}{2},y=\frac{k}{3},z=\frac{k}{4},\therefore\frac{x}{y + z}=\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$.
根据材料回答问题:
(1)已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}=\frac{1}{5}$,求$x+\frac{1}{x}$的值;
(2)已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}(abc\neq0)$,求$\frac{3b + 4c}{2a}$的值;
(3)若$\frac{yz}{bz + cy}=\frac{zx}{cx + az}=\frac{xy}{ay + bx}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}},x\neq0,y\neq0,z\neq0$,且$abc = 5$,求$xyz$的值.

答案： 19.解:
(1)
∵ $\frac{x}{x^2 - x + 1} = 5$,
∴ $x - 1 + \frac{1}{x} = 5$,
∴ $x + \frac{1}{x} = 6$;
(2) 设$\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} = k(k \neq 0)$, 则$a = 5k$, $b = 4k$, $c = 3k$,
∴ $\frac{3b + 4c}{2a} = \frac{12k + 12k}{10k} = \frac{12}{5}$;
(3) 设$\frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + az} = \frac{xy}{ay + bx} = \frac{1}{k}(k \neq 0)$,
∴ $\frac{bz + cy}{yz} = k$, $\frac{cx + az}{zx} = k$, $\frac{ay + bx}{xy} = k$, ① + ② + ③, 得$2(\frac{b}{y} + \frac{c}{z} + \frac{a}{x}) = 3k$, ④ - ①, 得$\frac{a}{x} = \frac{1}{2}k$, ④ - ②, 得$\frac{b}{y} = \frac{1}{2}k$, ④ - ③, 得$\frac{c}{z} = \frac{1}{2}k$,
∴ $x = \frac{2c}{k}$, $y = \frac{2b}{k}$, $z = \frac{2a}{k}$,
∴ $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{\frac{4c^2}{k^2} + \frac{4b^2}{k^2} + \frac{4a^2}{k^2}}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{4}{k^2}$,
∴ $\frac{abc}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{5}{8}$,
∴ $k^2 = 8$,
∴ $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{4}{k^2} = \frac{5}{8}$.