《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

7. (马鞍山市第二中学实验班招生) 已知如图 7 - 7, $ D $ 为等边三角形 $ ABC $ 内一点, $ DB = DA$, $ BF = AB$, $\angle 1 = \angle 2$, 则 $\angle BFD$ 为 (C)
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 7.C 提示：连接CD，证△ACD≌△BCD。

8. (济南槐荫区期末) 如图 7 - 8, 在等边三角形 $ ABC $ 中, 在 $ AC $ 边上取两点 $ M$, $ N$, 使 $\angle MBN = 30^{\circ}$. 若 $ AM = m$, $ MN = x$, $ CN = n$, 则以 $ x$, $ m$, $ n $ 为边长的三角形的形状为 (C)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随 $ x$, $ m$, $ n $ 的值而定

答案：
8.C 提示：如图7-4，将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠MBN=30°，
∴∠ABM+∠CBH=30°，∠NBH=∠CBH+∠CBN=30°。
∵BM=BH，BN=BN，
∴△NBM≌△NBH，MN=NH=x。
∵x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选C。

9. (2022 秋·武汉市洪山区期末) 如图 7 - 9, 已知 $\angle AOB = \alpha (0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ})$, 射线 $ OA $ 上一点 $ M$, 以 $ OM$ 为边在 $ OA $ 下方作等边 $\triangle OMN$, 点 $ P $ 为射线 $ OB $ 上一点, 若 $\angle MNP = \alpha$, 则 $\angle OMP =$ 30°或120° - α.

答案：
9.30°或120° - α 提示：

(1)当P位于MN左侧时，如图7-5图1，
∵△OMN是等边三角形，
∴MN=MO=ON，∠MON=∠MNO=60°。
∵∠MNP=∠AOB=α，
∴∠PON=∠PNO，
∴PO=PN，△MPO≌△MPN(SAS)，
∴∠OMP=∠NMP=$\frac{1}{2}∠OMN=\frac{1}{2} × 60°=30°$。
(2)当P位于MN右侧时，如图7-5图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，此时△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ=60°，
∴∠OMP=180°-∠MPQ-∠MOP=180°-60°-α=120°-α。
故答案为30°或120° - α。

10. 如图 7 - 10, 在等边三角形 $ ABC $ 中, 点 $ D$, $ E $ 分别是 $ AB$, $ BC $ 边上的两个动点, 且满足 $ AD = BE$, $ AE $ 与 $ CD $ 交于点 $ F$, $ AG \perp CD $ 交于点 $ G$, 则 $\frac{FG}{AF} =$ $\frac{1}{2}$.

答案： 10.$\frac{FG}{AF}=\frac{1}{2}$ 提示：
∵CE=BD，∠ACE=∠B，AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD。
∵∠ACF+∠BCD=60°，
∴∠CAE+∠ACF=60°，
∴∠AFG=60°。
又AG⊥CD，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{1}{2}$。

11. (2022 秋·隰县期中) 如图 7 - 11, 已知: $\angle MON = 30^{\circ}$, 点 $ A_1$, $ A_2$, $ A_3$, … 在射线 $ OM $ 上, 点 $ B_1$, $ B_2$, $ B_3$, … 在射线 $ ON $ 上, $\triangle A_1B_1B_2$, $\triangle A_2B_2B_3$, $\triangle A_3B_3B_4$, … 均为等边三角形, 若 $ OB_1 = 1$, 则 $\triangle A_8B_8B_9$ 的边长为 128.

答案：
11.128 提示：设等边三角形的边长依次为$a_1$，$a_2$，$a_3$，⋯。
∵△$A_1B_1A_2$，$B_2A_2B_3$是等边三角形，如图7-6，
∵$B_1A_1=B_1A_2$，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°。
又
∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°。
∵∠MON=∠1=30°，$OB_1=B_1A_1=1$，
∴$B_1A_1// A_2B_2// A_3B_3// A_4B_4// A_5B_5$，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴$a_2=2a_1$，$a_3=4a_1=4$，$a_4=8a_1=8$，$a_5=16a_1$，以此类推：$a_8=2^{7}=128$，即△$A_8B_8B_9$的边长为128，故答案为128。

12. 如图 7 - 12, $\angle AOB = 60^{\circ}$, $ OA = OB$, 动点 $ C $ 从点 $ O $ 出发, 沿射线 $ OB $ 方向移动, 以 $ AC $ 为边在右侧作等边三角形 $ ACD$, 连接 $ AB$, $ BD$, 则 $ BD $ 所在的直线与 $ OA $ 所在的直线的位置关系是 BD//OA.

答案：
12.BD//OA 提示：
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠BOA=60°。
①当点C在线段OB上时，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，可证△AOC≌△ABD(SAS)，
∴∠ABD=∠AOC=60°，∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD//OA。
②当点C在OB的延长线上时，如图7-7，同①的方法得出OA//BD。
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，可证△AOC≌△ABD(SAS)，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD//OA。
故答案为BD//OA。

13. 如图 7 - 13, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AC$, $\angle ABD = 60^{\circ}$, $\angle ADB = 76^{\circ}$, $\angle BDC = 28^{\circ}$, 则 $\angle DBC$ 的度数为 16°.

答案：
13.16° 提示：如图7-8，延长BD到点E使DE=DC，连接AE，则易证△ADC≌△ADE(SAS)，
∴∠DAC=∠EAD=76°-60°=16°，
∴∠BAC=44°-16°=28°，
∴∠DBC=(180°-28°)÷2-60°=16°。

14. (湖北省黄冈市八年级预赛) 如图 7 - 14. 点 $ P $ 是正 $\triangle ABC$ 内一点, $\angle APB = 125^{\circ}$, $\angle BPC = 100^{\circ}$, 则以 $ AP$, $ BP$, $ CP $ 为边组成的三角形各内角的度数为 65°，75°，40°.

答案：
14.65°，75°，40° 提示：如图7-9，以点A为中心，将△APB逆时针旋转60°，得△AQC，则△APB≌△AQC，
∴QC=PB，连接PQ，则△APQ为等边三角形，
∴PQ=PA，故△PCQ是以PA，PB，PC为边组成的三角形。
∵∠APB=∠AQC=125°，∠AQP=60°，
∴∠PQC=65°。
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=135°，∠APQ=60°，
∴∠QPC=75°，于是∠PCQ=40°，故以PA，PB，PC为边组成的三角形三个内角是65°，75°，40°。

15. (2023 秋·东丰县期末) 在 $\triangle DEF$ 中, $ DE = DF$, 点 $ B $ 在 $ EF $ 边上, 且 $\angle EBD = 60^{\circ}$, $ C $ 是射线 $ BD $ 上的一个动点 (不与点 $ B $ 重合, 且 $ BC \neq BE$), 在射线 $ BE $ 上截取 $ BA = BC$, 连接 $ AC$.
(1) 当点 $ C $ 在线段 $ BD $ 上时,
① 若点 $ C $ 与点 $ D $ 重合, 请根据题意补全图 1, 并直接写出线段 $ AE $ 与 $ BF $ 的数量关系为 AE=BF;
② 如图 2, 若点 $ C $ 不与点 $ D $ 重合, 请证明 $ AE = BF + CD$;
八年级数学(上) · 26 ·
(2) 当点 $ C $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时, 用等式表示线段 $ AE$, $ BF$, $ CD $ 之间的数量关系 (直接写出结果, 不需要证明).

答案：
15.解：
(1)①如图7-10图1，
∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，∠EAD=∠FBD=120°。
∵DE=DF，∠E=∠F，可证△ADE≌△BDF(AAS)，
∴AE=BF；故答案为AE=BF。
②证明：如图7-10图2，在BE上截取BG=BD，连接DG。
∵∠EBD=60°，BG=BD，
∴△GBD是等边三角形，同理△ABC也是等边三角形，
∴AG=CD，DE=DF，
∴∠E=∠F。
又
∵∠DGB=∠DBC=60°，
∴∠DGE=∠DBF=120°，可证△DGE≌△DBF(AAS)，
∴GE=BF，
∴AE=BF + CD。
(2)如图7-10图4，连接DG，由
(1)知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG - AG，
∴AE=CD - BF。