《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

10. (成都市温江区自主招生)若n个等腰三角形的顶角α₁，α₂，…，αₙ两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则α₁ + α₂ + … + αₙ =$\frac{1818°}{7}$_。

答案：
10.$\frac{1818°}{7}$ 提示：

(1)如图6 - 8图1，△ABC中，AB = AC，BD = AD，AC = CD，
∴∠B = ∠C = ∠BAD，∠CDA = ∠CAD。
∵∠CDA = 2∠B，
∴∠CAB = 3∠B，又∠CAB + ∠B + ∠C = 180°，即5∠B = 180°，∠B = 36°，∠BAC = 108°。
(2)如图6 - 8图2，△ABC中，AB = AC，AD = BD = CD，
∴∠B = ∠C = ∠DAC = ∠DAB，
∴∠BAC = 2∠B。
∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，即4∠B = 180°，∠B = 45°，∠BAC = 90°。
(3)如图6 - 8图3，△ABC中，AB = AC，BD = AD = BC，
∴∠B = ∠C，∠A = ∠ABD，∠BDC = ∠C。
∵∠BDC = 2∠A，
∴∠C = 2∠A = ∠B。
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，即5∠A = 180°，∠A = 36°。
(4)如图6 - 8图4，△ABC中，AB = AC，BD = AD，CD = BC，
假设∠A = x，
∵AD = BD，
∴∠DBA = x。
∵AB = AC，
∴∠C = $\frac{180° - x}{2}$。
∵CD = BC，
∴∠BDC = ∠C = $\frac{180° - x}{2}$，又∠BDC = 2x，
则$\frac{180° - x}{2}$ = 2x，解得x = $\frac{180°}{7}$，
∴∠A = $\frac{180°}{7}$。
∴α₁ + α₂ + ⋯ + αₙ = 108° + 90° + 36° + $\frac{180°}{7}$ = $\frac{1818°}{7}$。

11. (广州市海珠区自主招生)如图6 - 7，∠AOB是一钢架，且∠AOB = 10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢PP₁，P₁P₂，P₂P₃，…添加的钢管长度都与OP相等，最多能添加这样的钢管_根.8

答案： 11.8 提示：
∵添加的钢管长度都与OP相等，∠AOB = 10°，
∴∠P₁PP₂ = ∠P₁P₁P₂ = 20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个等腰三角形的底角是20°，第三个等腰三角形的底角是30°，第四个等腰三角形的底角是40°，第五个等腰三角形的底角是50°，第六个等腰三角形的底角是60°，第七个等腰三角形的底角是70°，第八个等腰三角形的底角是80°，第九个等腰三角形的底角是90°就不存在了。所以一共有8根。

12. (广西自主招生)如图6 - 8，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_。

答案：
12.108° 提示：如图6 - 9，连接OB，OC，
∵∠BAC = 54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
又
∵AB = AC，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) = 63°。
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA = OB，
∴∠ABO = ∠BAO = 27°。
∠OBC = ∠ABC - ∠ABO = 63° - 27° = 36°。
∵AO为∠BAC的平分线，AB = AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB = OC，
∴点O在BC的垂直平分线上。
又
∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB = ∠OBC = 36°。
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE = CE，∠COE = ∠OCB = 36°。
在△OCE中，∠OEC = 180° - ∠COE - ∠OCB = 180° - 36° - 36° = 108°。

13. (2024·南京市二十九中特长生考试)如图6 - 9，OA = OB = OC，∠AOC = 100°，H为AB中点，OH延长线与CB延长线交于点F，则∠F =40°_。

答案： 13.40° 提示：
∵OA = OB = OC，H为AB中点，
∴OH平分∠AOB。
设∠AOH = ∠BOH = x，则∠BOC = 100° - 2x，
∠OBC = ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BOC) = $\frac{1}{2}$[180° - (100° - 2x)] = x + 40°。
∴∠F = ∠OBC - ∠BOH = x + 40° - x = 40°。

14. (蚌埠自主招生)如图6 - 10，在△ABC中，AB = AC，AD = AE，∠CAD = 60°，则∠EDB30°= _。

答案： 14.30° 提示：设∠EDB = x，则∠AED = ∠B + x。
∵AE = AD，
∴∠AED = ∠ADE = ∠B + x。
∴∠ADB = 2x + ∠B，又∠ADB = ∠DAC + ∠C。
又AB = AC，
∴∠B = ∠C。
∴2x + ∠B = 60° + ∠C，即2x = 60°，x = 30°。

15. 如图6 - 11所示，在△ABC中，∠BAC = ∠BCA = 44°，M为△ABC形内一点，使得∠MCA = 30°，∠MAC = 16°，求∠BMC的度数.

答案：
15.解：如图6 - 10，在△ABC中，由∠BAC = ∠BCA = 44°，得AB = BC，∠ABC = 92°。
作BD⊥AC于点D，延长CM交BD于点O，连接OA。
则有∠OAC = ∠MCA = 30°，∠BAO = ∠BAC - ∠OAC = 44° - 30° = 14°，∠OAM = ∠OAC - ∠MAC = 30° - 16° = 14°。
∴∠BAO = ∠MAO。
又∠AOD = 90° - ∠OAD = 60° = ∠COD，
∴∠AOM = 120° = ∠AOB。
又AO = AO，
∴△ABO≌△AMO。故OB = OM。
由于∠BOM = 120°，从而，∠OMB = ∠OBM = 30°，
∴∠BMC = 180° - ∠OMB = 150°。

16. (2023秋·成都市锦江区期末)在△ABC中，AB = AC，D为平面上一点，分别连接DA，DB，DC.
(1)如图1，当∠BAC = 90°，点D在边BC上时，以AD为腰在AD右侧作等腰直角△ADE，且∠DAE = 90°，连接CE. 求证：BD = CE；
(2)如图2，当∠BAC = 60°，点D在△ABC内部时，∠ADB = 150°，AD = 3，BD = 4，求CD的长；
(3)如图3，当点D在△ABC外部，且∠BCD + ∠BAD = 270°，BD = 2CD，设∠BAC = x°，∠BDC = y°，则x - y的值是否发生变化？若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由.

答案：
16.
(1)证明：
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AD = AE。
又
∵∠ABD + ∠DAC = ∠BAC = 90°，∠DAC + ∠CAE = ∠DAE = 90°，
∴∠BAD = ∠CAE。
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD = CE。
(2)如图6 - 11图1，将△ABD绕A点逆时针旋转60°，得到△ACE，连接DE。
∵AE = AD，CE = BD = 4，∠DAE = ∠BAC = 60°，∠AEC = ∠ADB = 150°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE = AD = 3，∠AED = 60°。
∴∠DEC = ∠AEC - ∠AED = 90°。
在Rt△CDE中，CD² = DE² + CE² = 9 + 16 = 25，
∴CD = 5。
(3)解：不变。如图6 - 11图2，将△ABD绕A点逆时针旋转x°，得到△ACE，连接DE。
∵AE = AD，CE = BD，∠DAE = ∠BAC = x°，∠CAE = ∠BAD，
∴∠AED = ∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - x)°。
又
∵∠BAC = x°，AB = AC，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - x)°，
∴∠ACB = ∠AED。
又
∵∠BCD + ∠CAE = ∠BCD + ∠BAD = 270°，
∴∠AED + ∠ACD + ∠CAE = ∠BCD + ∠BAD = 270°，
∴∠CDE = 90°。
又
∵BD = 2CD = CE，
∴∠CED = 30°。
∴∠ADB = ∠AED - ∠CED = $\frac{1}{2}$(180° - x)° - 30° = 60° - $\frac{1}{2}$x°。
∵∠ADE + ∠ADB + ∠BDC = 90°，
∴$\frac{1}{2}$(180° - x)° + 60° - $\frac{1}{2}$x° + y° = 90°，
∴x - y = 60。