《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16.(2024春·西安市未央区月考)如图5-13,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90°$,$\angle A=30°$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$和$AC$于点$D,E$.
(1)若$AC=6\ cm$,求$CE$的长度;
(2)连接$CD$,请判断$\triangle BCD$的形状,并说明理由.

答案：
16.
(1)证明:如图5 - 13,连接BE,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE = BE,
∴∠ABE = ∠A = 30°,
∴∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 30°,在Rt△BCE中,BE = 2CE,
∴AE = 2CE,
∵AC = 6cm,
∴CE = 2cm;
(2)解:△BCD是等边三角形,理由如下:连接CD。
∵DE垂直平分AB,
∴D为AB中点,
∵∠ACB = 90°,
∴CD = BD,
∵∠ABC = 60°,
∴△BCD是等边三角形。

17.(2023秋·北京东城区期中)已知$\angle MAN=30°$,点$B$为边$AM$上一个定点,点$P$为线段$AB$上一个动点(不与点$A,B$重合),点$P$关于直线$AN$的对称点为点$Q$,连接$AQ,BQ$,点$A$关于直线$BQ$的对称点为点$C$,连接$PQ,CP$.
(1)如图1,若点$P$为线段$AB$的中点.
①直接写出$\angle AQB$的度数;
②依题意补全图形,并直接写出线段$CP$与$AP$的数量关系;
(2)如图2,若线段$CP$与$BQ$交于点$D$.
①设$\angle BQP=\alpha$,求$\angle CPQ$的大小(用含$\alpha$的式子表示);
②用等式表示线段$PC,DQ,DP$之间的数量关系,并证明.

答案：
17.解:
(1)①
∵P,Q关于AN对称,
∴AP = AQ,∠PAN = ∠QAN = 30°,
∴△APQ是等边三角形,
∴PQ = PA,
∵点P为线段AB的中点，PB = PA,
∴PQ = PA = PB,
∴∠AQB = 90°。②图形如图5 - 14①所示;结论:PC = √3PA。理由:
∵∠AQB = 90°,A,C关于BQ对称,
∴AQ = QC,
∴PQ = QC = AQ,
∴∠CAP = 60°,
∴PC/PA = √3,
∴PC = √3PA。
(2)①如图5 - 14②,连接BC,CQ。
∵A,C关于BQ对称,
∴BC = BA,CQ = AQ,
∴△BQC≌△BQA(SSS),
∴∠BCQ = ∠BAQ = 60°,∠BQC = ∠BQA,
∵∠APQ = 60°,
∴∠BPQ = 120°,
∴∠BPQ + ∠BCQ = 180°,
∴B,P,Q,C四点共圆,
∴∠CPB = ∠CQB = ∠AQB,
∵∠APC + ∠CPB = 180°,
∴∠PAQ + ∠PDQ = 180°,
∴∠PDQ = 120°,∠DQP + ∠DPQ = 60°,
∴∠CPQ = 60° - α。②如图5 - 14③,结论:PC = 2DP + DQ。理由:连接AD,在AD上取一点T,使得DT = DP,
∵∠PAQ + ∠PDQ = 180°,
∴A,P,D,Q四点共圆,
∴∠PDT = ∠PQA = 60°,
∵DT = DP,
∴△PDT是等边三角形,
∴PD = PT,∠DPT = ∠QPA = 60°,
∴∠DPQ = ∠TPA,
∴△DPQ≌△TPA(SAS),
∴DQ = TA,
∴AD = DT + AT = PD + DQ,
∵A,C关于BQ对称,DC = AD,
∴CD = DP + DQ,
∴PC = DP + CD = DP + DP + DQ = 2DP + DQ。