《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

1. (2023·深圳越秀区自主招生)如图4-1,△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E,BE交AC于点F,过点E作EG//BD交AB于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结论:①∠BEC = $\frac{1}{2}$∠BAC;②△HEF≌△CBF;③BG = CH + GH;④∠AEB + ∠ACE = 90°.其中正确的结论有 (C)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案：
1.C 提示:①
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵CE平分∠ACD,
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠DCE=∠CBE+∠BEC,
∴∠EBC+∠BEC=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=∠EBC+$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC,故①正确;②△HEF与△CBF只有两个角是相等的,能得出相似,但不含相等的边,所以不能得出全等的结论,故②错误;③BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵GE//BC,
∴∠CBE=∠GEB,
∴∠ABE=∠GEB,
∴BG=GE,同理CH=HE,
∴BG=GE=GH+HE=CH+GH,故③正确;④过点E作EN⊥AC于N,ED⊥BC于D,EM⊥BA于M,如图4 - 1,
∵BE平分∠ABC,
∴EM=ED.
∵CE平分∠ACD,
∴EN=ED,
∴EN=EM,
∴AE平分∠CAM.设∠ACE=∠DCE=x,∠ABE=∠CBE=y,∠MAE=∠CAE=z,如图4 - 1,则∠BAC=180° - 2z,∠ACB=180° - 2x.
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴2y+180° - 2z+180° - 2x=180°,
∴x+z=y+90°.
∵z=y+∠AEB,
∴x+y+∠AEB=y+90°,
∴x+∠AEB=90°,即∠ACE+∠AEB=90°,故④正确.故选C.

2. (江苏自主招生)如图4-2,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D,DE⊥AB于点E,连接CD.若CD = 2,DE = $\sqrt{3}$,则∠ACD = (C)

A.150°
B.135°
C.120°
D.110°

答案：
2.C 提示:如图4 - 2,连接BD,作DF⊥AC交AC的延长线于F,
∵点D在BC边的中垂线上,
∴DB=DC=2.在Rt△DEB中,$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠DBE=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.故Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴∠DCF=∠DBE=60°,
∴∠ACD=180° - 60°=120°.

3. (2023-2024学年怀化竞赛)如图4-3,在△ABC中,∠BAC,∠BCA的平分线交于点I,若∠B = 35°,BC = AI + AC,则∠BAC的度数是 (B)
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

答案：
3.B 提示:如图4 - 3,在BC上截取CD=AC,连接DI,BI.
∵CI平分∠ACB,
∴∠ACI=∠DCI,
∴△ACI≌△CDI.
∴AI=DI,∠CAI=∠CDI,
∴DB=DI,
∴∠DBI=∠DIB,∠IDC=2∠DBI.已知AI,CI分别是∠BAC,∠ACB平分线,
∴BI平分∠ABC,
∴∠ABC=∠CDI,
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC.又
∵∠ABC=35°,
∴∠BAC=70°.故选B.

4. (江苏自主招生)如图4-4,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD = 136°,∠BCD = 44°,则∠ADB的度数为 (D)

A.54°
B.50°
C.48°
D.46°

答案：
4.D 提示:如图4 - 4,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,作DF⊥AB交AB的延长线于点F,作DG⊥BC交BC于G,因为AD是∠BAC的角平分线,所以DE=DF,因为∠ACD=136°,∠BCD=44°,所以∠ACB=136° - 44°=92°,因为∠DCE=180° - 136°=44°,所以∠DCE=∠BCD,即CD平分∠BCE,因为DE⊥CE,DG⊥BC,所以DE=DG,所以DG=DF,所以BD平分∠CBF,因为∠ADB=∠DBF - ∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CBF - $\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×92°=46°.故选D.

5. (2023春·宁波鄞州区月考)如图4-5,△ABC的两条内角平分线相交于点D,过点D作一条平分△ABC面积的直线,那么这条直线分成的两个图形的周长比是 (B)

A.2:1
B.1:1
C.2:3
D.3:1

答案：
5.B 提示:连接AD,过D点作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,作DG⊥BC于点G,
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D,
∴AD也是△ABC的角平分线,则D点为△ABC的内心,
∴DE=DF=DG.如图4 - 5设MN平分△ABC的面积,则S△BDM+S△BDN=S△ADM+S△ADC+S△DCN,
∵S△BDM=$\frac{1}{2}$BM·DE,S△ADM=$\frac{1}{2}$AM·DE,S△ADC=$\frac{1}{2}$AC·DF,S△DCN=$\frac{1}{2}$NC·DG,S△BDN=$\frac{1}{2}$BN·DG,
∴$\frac{1}{2}$BM·DE+$\frac{1}{2}$BN·DG=$\frac{1}{2}$AM·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF+$\frac{1}{2}$NC·DG,
∴BM+BN=AM+AC+NC.
∴BM+BN+MN=AM+AC+NC+MN,
∴$\frac{BM+BN+MN}{AM+AC+NC+MN}$=1即这条直线分成的两个图形的周长比是1:1.故选B.

6. (2023秋·临邑县期末)如图4-6,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于点E,BF交AC于点F,过点O作OD⊥BC于点D,下列三个结论:①∠AOB = 90° + $\frac{1}{2}$∠C;②当∠C = 60°时,AF + BE = AB;③若OD = a,AB + BC + CA = 2b,则S△ABC = ab.其中正确的是 (C)

A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③

答案： 6.C 提示:
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,
∴∠AOB=180° - ∠OBA - ∠OAB=180° - $\frac{1}{2}$∠CBA - $\frac{1}{2}$∠CAB=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠C)=90° + $\frac{1}{2}$∠C,①正确;
∵∠C=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°.
∵AE,BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°,
∴∠BOE=60°.如图4 - 6,在AB上取一点H,使BH=BE,
∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠HBO=∠EBO,
∴△HBO≌△EBO(SAS),
∴∠BOH=∠BOE=60°,
∴∠AOH=180° - 60° - 60°=60°,
∴∠AOH=∠AOF,
∴△HAO≌△FAO(ASA),
∴AF=AH,
∴AB=BH+AH=BE+AF,故②正确;作OM⊥AC于M,OH⊥AB于H,
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,点O在∠C的平分线上,
∴OH=OM=OD=a.
∵AB+AC+BC=2b,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OH+$\frac{1}{2}$×AC×OM+$\frac{1}{2}$×BC×OD=$\frac{1}{2}$(AB+AC+BC)·a=ab,③正确.故选C.