《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

14. (2022秋·潍坊期末)如图4-14,AB和CD相交于点O,∠C = ∠COA,∠BDC = ∠BOD,AP,DP分别平分∠CAO和∠BDC,若∠C + ∠P + ∠B = 165°,则∠C的度数是70°.

答案： 14.70° 提示:
∵∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD,∠AOC=∠BOD=∠BDO,
∴∠B=∠CAO,设∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO=x,∠CAP=∠PAB=y,∠P=z,则∠B=2y,则有$\begin{cases}2x + 2y = 180°\\x + y + z+\frac{1}{2}x = 165°\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 70°\\y = 20°\\z = 55°\end{cases}$,
∴∠C=70°,故答案为70°.

15. (希望杯邀请赛训练题)如图4-15,已知四边形ABCD中,∠A + ∠BCD = 180°,两组对边延长后分别交于P,Q两点,∠P,∠Q的平分线交于M,求证:PM⊥QM.

答案： 15.证明:如图4 - 9所示,连接QP,
∵∠A+∠BCD=180°,∠DCQ+∠BCD=180°,∠BCP+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCP=∠DCQ,∠ABC+∠ADC=180°.
∴∠QDC+∠PBC=180°.
∵∠P,∠Q的平分线交于M,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.由三角形外角性质可得∠QDC=∠A+∠APD=∠A+2∠3,∠PBC=∠A+∠AQB=∠A+2∠2,
∴2∠A+2∠3+2∠2=180°,
∴∠A+∠3+∠2=90°.
∵∠A+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°,∠M+∠2+∠3+∠5+∠6=180°,
∴∠M=∠A+∠1+∠4=∠A+∠2+∠3=90°.
∴PM⊥QM.

16. (2024·北京市海淀区师达中学证明题大赛)在△ABC中,AB ＞ BC,直线l垂直平分AC.
(1)如图1,作∠ABC的平分线交直线l于点D,连接AD,CD.
①补全图形;
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系,并证明.
(2)如图2,直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D,连接AD,CD.求证:∠BAD = ∠BCD.

答案：
16.解:
(1)①补全图形如图4 - 10图1;②结论:∠BAD+∠BCD=180°,理由如下:过点D作DE⊥AB于E,作DF⊥BC交BC的延长线于F,如图4 - 10图2,则∠AED=∠CFD=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
∵直线l垂直平分AC,
∴DA=DC,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠BAD=∠FCD.
∵∠FCD+∠BCD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°;
(2)结论:∠BAD=∠BCD,理由如下:过点D作DN⊥AB于N,作DM⊥BC于M,如图3,则∠AND=∠CMD=90°.
∵BD平分∠ABE,
∴DM=DN.
∵直线l垂直平分AC,
∴DA=DC,
∴Rt△ADN≌Rt△CDM(HL),
∴∠BAD=∠BCD.

17. (全国初中竞赛)如图4-17,在△ABC中,AB = 7,AC = 11.点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF//AD,求FC的长.

答案： 17.解:设点N是AC的中点,连接MN,则MN//AB.又
∵MF//AD,
∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN,
∴FN=MN=$\frac{1}{2}$AB.故FC=FN+NC=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$AC=9.