《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2021 秋·开封期末) 在等边三角形 $ ABC $ 的两边 $ AB$, $ AC $ 所在直线上分别有两点 $ M$, $ N$, $ D $ 为 $\triangle ABC$ 外一点, 且 $\angle MDN = 60^{\circ}$, $\angle BDC = 120^{\circ}$, $ BD = DC$. 探究: 当 $ M$, $ N $ 分别在直线 $ AB$, $ AC $ 上移动时, $ BM$, $ NC$, $ MN $ 之间的数量关系及 $\triangle AMN$ 的周长 $ Q $ 与等边 $\triangle ABC$ 的周长 $ L $ 的关系.
(1) 如图 1, 当点 $ M$, $ N $ 在边 $ AB$, $ AC $ 上, 且 $ DM = DN $ 时, $ BM$, $ NC$, $ MN $ 之间的数量关系是 BM+NC=MN; 此时 $\frac{Q}{L} =$ $\frac{2}{3}$.
(2) 如图 2, 点 $ M$, $ N $ 在边 $ AB$, $ AC $ 上, 且当 $ DM \neq DN $ 时, 猜想 (1) 问的两个结论还成立吗? 若成立请直接写出你的结论; 若不成立请说明理由.
(3) 如图 3, 当 $ M$, $ N $ 分别在边 $ AB$, $ CA $ 的延长线上时, 探索 $ BM$, $ NC$, $ MN $ 之间的数量关系如何? 并给出证明.

答案：
19.解：
(1)BM，NC，MN之间的数量关系BM+NC=MN，此时$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$，理由：
∵DM=DN，∠MDN=60°，
∴△MDN是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°。
∵∠MBD=∠NCD=90°，
∵DM=DN，BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，
∴DM=2BM，DN=2CN，
∴MN=2BM=2CN=BM+CN。
∴AM=AN，
∴△AMN是等边三角形。
∵AB=AM+BM，
∴AM:AB=2:3，
∴$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$。
(2)猜想：结论仍然成立。
证明：如图7-13图1，在NC的延长线上截取$CM_1=BM$，连接$DM_1$。
∵∠MBD=∠M₁CD=90°，BD=CD，
∴△MBD≌△M₁CD，
∴DM=DM₁。
∵∠M₁DM₁=∠BDC - ∠BDM₁ - ∠CDN = 120° - 30° - 30° = 60°，∠MDN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△M₁DN≌△MDN，
∴MN=M₁N=M₁C+NC=BM+NC。
△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，
∴$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$。
(3)证明：如图7-13图2，在CN上截取$CM_1=BM$，连接$DM_1$，可证△DBM₁≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，可证∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△M₁DN≌△MDN，
∴MN=M₁N，
∴NC - BM=MN。

20. 如图 7 - 20, 已知等边三角形 $ ABC $ 中, 点 $ D$, $ E$, $ F $ 分别为 $ AB$, $ AC$, $ BC $ 边的中点, $ M $ 为直线 $ BC $ 上一动点, $\triangle DMN$ 为等边三角形, 点 $ F $ 始终在 $ NE $ 所在直线上.
(1) 如图 7 - 20 - ① 当点 $ M $ 在点 $ B $ 左侧时, 试判断 $ EN $ 与 $ MF $ 有怎样的数量关系? (请直接写出结论, 不需证明)
(2) 如图 7 - 20 - ②, 当点 $ M $ 在 $ BC $ 边上, 其他条件不变时, (1) 的结论中 $ EN $ 与 $ MF $ 的数量关系是否仍然成立? 请说明理由.

答案： 20.解：
(1)EN=MF。
(2)仍然成立，理由如下：
连接DE，DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C = 60°。
∵D，E，F是三边的中点，
∴AD=AE=BD=BF=FC=CE，
∴△ADE，△BDF，△CEF都为等边三角形，
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°。
又
∵∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE。