《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

17. (2024春·泉州市鲤城区期中)【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形. 若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”；
【理解概念】：
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.①_；②_；
(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A = 40°，∠B = 60°. 请你说明CD是△ABC的等角分割线；
【应用概念】：
(3)在△ABC中，若∠A = 40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数.

答案：
17.
(1)解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD是“等角三角形”。
(2)证明：在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 60°，
∴∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 80°。
∵CD为角平分线，
∴∠ACD = ∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 40°。
∵∠ACD = ∠A，∠DCB = ∠A，
∴CD = DA。
在△DBC中，∠DCB = 40°，∠B = 60°，
∴∠BDC = 180° - ∠DCB - ∠B = 80°。
∴∠BDC = ∠ACB。
∵CD = DA，∠BDC = ∠ACB，∠DCB = ∠A，∠B = ∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线。
(3)解：
①当△ACD是等腰三角形，如图6 - 12图1，DA = DC时，∠ACD = ∠A = 40°，
∴∠ACB = ∠BDC = 40° + 40° = 80°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 60°。
②当△ACD是等腰三角形，如图6 - 12图2，DA = AC时，∠ACD = ∠ADC = 70°，
∠BCD = ∠A = 40°，
∴∠ACB = 70° + 40° = 110°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 30°。
③当△ACD是等腰三角形，CD = AC的情况不存在。
④当△BCD是等腰三角形，如图6 - 13图3，DC = BD时，∠ACD = ∠BCD = ∠B，
∵∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴∠B = $\frac{180° - 40°}{3}$ = $\frac{140}{3}$°。
⑤当△BCD是等腰三角形，如图6 - 12图4，DB = BC时，∠BDC = ∠BCD，设∠BDC = ∠BCD = x，
∴∠B = 180° - 2x，则∠ACD = ∠B = 180° - 2x。
由题意得180° - 2x + 40° = x，解得x = $\frac{220}{3}$°，
∴∠B = 180° - 2x = $\frac{100}{3}$°。
⑥当△BCD是等腰三角形，CD = CB的情况不存在。
综上，∠B的度数为60°，30°，$\frac{140}{3}$°，$\frac{100}{3}$°。