《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (天津市初中竞赛)如图 2 - 14,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC $ 的平分线为 $ AD $,点 $ M $ 为 $ BC $ 的中点,$ ME // AD $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $.求证:$ BE = CF = \frac{1}{2}(AB + AC) $.

答案：
16. 证明：如图2 - 9所示，过B作BG//AC，交EM的延长线于点G。
∵∠C = ∠MBG，又BM = CM，∠BMG = ∠CMF，又∠1 = ∠2，∠B = ∠4，
∴∠F = ∠G，
∴△BMG≅△CMF(ASA)，BE = BG，
∴BG = AB + AE = AC - AF，
∴2BE = 2BG = AB + AC，即BE = CF = $\frac{1}{2}$(AB + AC)。

17. 如图 2 - 15 所示,$ CB,CE $ 分别是 $ \triangle ADC,\triangle ABC $ 的中线,且 $ AB = AC $.求证:$ CD = 2CE $.

答案： 17. 证明：延长CE到点F，使EF = CE，连接BF，在△BEF与△AEC中，∠BEF = ∠AEC，△BEF≅△AEC(SAS)，
∴BF = AC，∠EBF = ∠A。
∵AB = AC，∠ACB = ∠ABC，
∴∠ACB + ∠A = ∠ABC + ∠EBF，即∠CBF = ∠CBD。又
∵AB = BD，
∴BF = AC = AB = BD，
∴△CBF≅△CBD(SAS)，
∴CF = CD，故CD = 2CE。

18. (北京市竞赛)如图 2 - 16,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,$ DA \perp AB,EB \perp AB,FC \perp AB $,且 $ DA = BC,EB = AC,FC = AB,\angle AFB = 51° $,求 $ \angle DFE $ 的度数.

答案： 18. 39° 提示：连接AE，BD，先证明△DAB≅△BCF，△EBA≅△ACF，得DB = BF，AE = AF，DB⊥BF，AE⊥AF。