《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2024·长沙市雅礼教育集团创新拔尖选拔赛)【基础巩固】(1)如图 1,在△ABC 与△ADE 中,AB = AC,AD = AE,∠BAC = ∠DAE,求证:△AEC≌△ADB.
【尝试应用】(2)如图 2,在△ABC 与△ADE 中,AB = AC,AD = AE,∠BAC = ∠DAE = 90°,B,D,E 三点在一条直线上,AC 与 BE 交于点 F,若点 F 为 AC 中点,
①求∠BEC 的大小;
②CE = 2,求△ACE 的面积.
【拓展提高】(3)如图 3,△ABC 与△ADE 中,AB = AC,DA = DE,∠BAC = ∠ADE = 90°,BE 与 CA 交于点 F,DC = DF,CD⊥DF,△BCF 的面积为 18,求 AF 的长.

答案：
19.
(1)证明:
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE，即∠CAE = ∠BAD，
∴△AEC≌△ADB(SAS);
(2)解:①
∵AD = AE，∠DAE = 90°，
∴∠ADE = ∠AED = 45°，
∴∠ADB = 180° - ∠ADE = 180° - 45° = 135°.同
(1)得△AEC≌△ADB(SAS)，
∴∠AEC = ∠ADB = 135°.
∴∠BEC = ∠AEC - ∠AED = 135° - 45° = 90°;②如图3 - 11图1，过点A作AG⊥DE于点G，则∠FGA = 90°，由①可知，∠FEC = 90°，
∴∠FGA = ∠FEC.
∵点F为AC中点，
∴AF = CF.又
∵∠AFG = ∠CFE，
∴△AGF≌△CEF(AAS)，
∴AG = CE = 2，GF = EF.
∵AD = AE，∠DAE = 90°，
∴DG = EG = AG = 2，
∴GF = EF = $\frac{1}{2}$EG = 1，
∴$S_{\triangle ACE}$ = 2×$\frac{1}{2}$CE·EF = 2×$\frac{1}{2}$×2×1 = 2;
(3)解:如图3 - 11图2，连接CE，同
(2)得△CDE≌△FDA(SAS)，
∴CE = AF，∠DCE = ∠DFA = 135°，
∴∠ACE = ∠DCE - ∠ACB = 135° - 45° = 90°，
∴△ACE≌△BAF(SAS)，
∴$S_{\triangle ACE}$ = $S_{\triangle BAF}$.
∵∠ACE = ∠BAC，
∴CE//AB，
∴$S_{\triangle ABE}$ = $S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·AB = $\frac{1}{2}$AC².
∵$S_{\triangle ABC}$ + $S_{\triangle ACE}$ - $S_{\triangle AEF}$ - $S_{\triangle CEF}$ = $S_{\triangle BCF}$，
∴$\frac{1}{2}$AC² + $\frac{1}{2}$AC·CE - $\frac{1}{2}$AC² - CE·CF = 18，
∴AC·AF - AF·CF = 36，
∴AF(AC - CF) = 36，
∴$AF^2$ = 36，
∴AF = $\sqrt{36}$ = 6.

20. (2024·重庆)在△ABC 中,AB = AC,点 D 是 BC 边上一点(点 D 不与端点重合). 点 D 关于直线 AB 的对称点为 E,连接 AD,DE. 在直线 AD 上取一点 F,使∠EFD = ∠BAC,直线 EF 与直线 AC 交于点 G.
(1)如图 1,若∠BAC = 60°,BD ＜ CD,∠BAD = α,求∠AGE 的度数(用含 α 的代数式表示);
(2)如图 1,若∠BAC = 60°,BD ＜ CD,用等式表示线段 CG 与 DE 之间的数量关系,并证明;
(3)如图 2,若∠BAC = 90°,点 D 从点 B 移动到点 C 的过程中,连接 AE,当△AEC 为等腰三角形时,请直接写出此时$\frac{CG}{AG}$的值.

答案：
20.提示:
(1)设AB，EF交于H，
∵∠EFD = ∠BAC，∠BAC = 60°，
∴∠EFD = 60°.
∵∠EFD = ∠AHF + ∠BAD = ∠AHF + α，
∴∠AHF = 60° - α.
∵∠AGE + ∠AHF + ∠BAC = 180°，
∴∠AGE = 180° - 60° - ∠AHF = 120° - ∠AHF，
∴∠AGE = 120° - (60° - α) = 60° + α;

(2)CG = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE，理由如下:如图3 - 12图1，在CG上截取CM = BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点Q，
∵AB = AC，∠BAC = 60°，
∴△BCA为等边三角形，
∴∠ABC = ∠C = 60°，BC = AB，
∴△ABD≌△BCM(SAS)，
∴∠3 = ∠4.
∵∠AQM = ∠3 + ∠5，
∴∠AQM = ∠4 + ∠5 = 60°.
∵∠EFD = ∠BAC = 60°，
∴∠AQM = ∠EFD，
∴EG//BM.
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE = AD，BE = BD，∠ABE = ∠ABC = 60°，
∴∠EBC = 120°，
∴∠EBC + ∠C = 180°，
∴EB//AC，
∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE = GM，
∴BE = GM = BD = CM，
∴CG = 2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知DE⊥AB