《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

1. (2022·南通)已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2}+n^{2}=2+mn $,则 $ (2m - 3n)^{2}+(m + 2n)(m - 2n) $ 的最大值为 (B)

A.24
B.$ \frac{44}{3} $
C.$ \frac{16}{3} $
D.-4

答案： 1.B 提示$\because m^{2}+n^{2}=2+mn,\therefore $原式$=4m^{2}+9n^{2}-12mn+m^{2}-4n^{2}=5m^{2}+5n^{2}-12mn=5(mn + 2)-12mn=10 - 7mn,\because (m + n)^{2}=2 + 3mn\geqslant0($当m + n = 0时，取等号$),\therefore mn\geqslant - \frac{2}{3},\because (m - n)^{2}=2 - mn\geqslant0($当m - n = 0时，取等号$),\therefore mn\leqslant2,\therefore - \frac{2}{3}\leqslant mn\leqslant2,$
$\therefore - 14\leqslant - 7mn\leqslant\frac{14}{3},\therefore - 4\leqslant10 - 7mn\leqslant\frac{44}{3}，$即原式的最大值为$\frac{44}{3}. $故选B.

2. (2023 春·苹果市期中)观察:
$ (x - 1)(x + 1)=x^{2}-1 $,
$ (x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1 $,
$ (x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1 $,
$ (x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1,·s $
据此规律,求 $ 2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+·s +2^{2}+2 + 1 $ 的个位数字是 (C)

A.1
B.3
C.5
D.7

答案： 2.C 提示:由上面的规律可知$(2 - 1)(2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+·s + 2^{2}+2 + 1)=2^{2024}-1,\therefore2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+·s + 2^{2}+2 + 1=2^{2024}-1.\because2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16,2^{5}=32,2^{6}=64,·s，$$2^{2024}÷4 = 506,\therefore2^{2024}$的个位数字是$6.2^{2024}-1$的个位数字是5. 故选C.

3. (2023 春·合肥市蜀山区期中)已知 $ (x - 2021)^{2}+(x - 2025)^{2}=34 $,则 $ (x - 2023)^{2} $ 的值是 (C)

A.5
B.9
C.13
D.17

答案： 3.C 提示:令t = x - 2023,则原式可化简为$(t - 2)^{2}+(t + 2)^{2}=34,$则$t^{2}-4t + 4+t^{2}+4t + 4=34,$解得$t^{2}=13,$即$(x - 2023)^{2}=13. $故选C.

4. (广东省竞赛)已知 $ x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 5 = 0 $,则 $ 2x + y $ 的值为 (A)

A.0
B.2
C.4
D.5

答案： 4.A 提示$:(x^{2}-2x + 1)+(y^{2}+4y + 4)=0,\therefore(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=0,\therefore x = 1,y = - 2,\therefore2x + y = 2×1 - 2=0. $故选A.

5. (浙江丽水自主招生)已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{3}-9m^{2}+29m - 18 = 0,n^{3}-9n^{2}+29n - 48 = 0 $,则 $ m + n $ 等于 (A)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： 5.A 提示$\because m^{3}-9m^{2}+29m - 18=m^{3}-3m^{2}×3 + 3m×3^{2}-3^{3}+2m + 9=(m - 3)^{3}+2m + 9①,$同理$n^{3}-9n^{2}+29n - 48=(n - 3)^{3}+2n - 21②,① + ②$得$:(m - 3)^{3}+(n - 3)^{3}=-2[(m + n)-6],\therefore(m + n - 6)[(m - 3)^{2}-(m - 3)(n - 3)+(n - 3)^{2}]=-2[(m + n)-6],\therefore(m + n - 6)[(m - 3)^{2}-(m - 3)(n - 3)+(n - 3)^{2}+2]=0,\because(m - 3)^{2}-(m - 3)(n - 3)+(n - 3)^{2}+2=[(m - 3)-\frac{1}{2}(n - 3)]^{2}+\frac{3}{4}(n - 3)^{2}+2＞0,\therefore m + n - 6=0,$从而m + n=6. 故选A.

6. (2024 春·宁波市镇海区期中)设实数满足 $ x^{3}=-2x + 1 $,若 $ x^{7}=ax^{2}+bx + c $,则 $ a - 2b + c $ 的值为 (B)

A.-14
B.14
C.-6
D.6

答案： 6.B 提示:根据题意,设$t = x^{3}=-2x + 1,\therefore x^{7}=(x^{3})^{2}· x=t^{2}· x=(-2x + 1)^{2}· x=4x^{3}-4x^{2}+x=4(-2x + 1)-4x^{2}+x=-4x^{2}-7x + 4,\therefore-4x^{2}-7x + 4=ax^{2}+bx + c,\therefore a=-4,b=-7,c=4,\therefore a - 2b + c=-4 + 14 + 4=14,$故选B.

7. (全国初中数学联赛题)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^{2}+b^{2}=1 $,则 $ a^{4}+ab + b^{4} $ 的最大值是 (D)

A.$ -\frac{1}{8} $
B.0
C.1
D.$ \frac{9}{8} $

答案： 7.D 提示$:a^{4}+ab + b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+ab=1 - 2a^{2}b^{2}+ab=-2(ab)^{2}+\frac{1}{2}ab + 1=-2[(ab)-\frac{1}{4}]^{2}-\frac{1}{2}ab + (\frac{1}{4})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{2}=-2[(ab-\frac{1}{4})^{2}-\frac{9}{16}]=-2(ab-\frac{1}{4})^{2}+\frac{9}{8}. $当$ab=\frac{1}{4}$时$,a^{4}+ab + b^{4}$有最大值$\frac{9}{8}. $故选D.

8. (中学生智能通讯赛)设 $ a=\frac{2021^{3}-2020×(2021^{2}+2022)}{2020×(2019^{2}-2018)-2019^{3}},b=\frac{2022^{3}-2021×(2022^{2}+2023)}{2021×(2020^{2}-2019)-2020^{3}} $,则 $ a,b $ 的大小关系是 (B)

A.$ a ＞ b $
B.$ a = b $
C.$ a ＜ b $
D.无法确定

答案： 8.B 提示$:a=\frac{2021^{2}×(2021 - 2020)-2020×2022}{2019^{2}×(2020 - 2019)-2020×2018}=\frac{2021^{2}-(2021 - 1)×(2021 + 1)}{2019^{2}-(2019 + 1)×(2019 - 1)}=1,$同理$b = 1,\therefore a = b. $故选B.

9. (2023·成都)定义:如果一个正整数能表示为两个正整数 $ m,n $ 的平方差,且 $ m - n ＞ 1 $,则称这个正整数为“智慧优数”. 例如,$ 16 = 5^{2}-3^{2} $,16 就是一个智慧优数,可以利用 $ m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n) $ 进行研究. 若将智慧优数从小到大排列,则第 3 个智慧优数是15;第 23 个智慧优数是57.

答案： 9.15 57 提示:注意到m - n＞1,知$m - n\geqslant2,\therefore m\geqslant n + 2. $当m = n + 2时,由$(n + 2)^{2}-n^{2}=4 + 4n$产生的智慧优数为:8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,·s当m = n + 3时,由$(n + 3)^{2}-n^{2}=9 + 6n$产生的智慧优数为:15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,·s当m = n + 4时,由$(n + 4)^{2}-n^{2}=16 + 8n$产生的智慧优数为:24,32,40,48,56,64,72,80,·s当m = n + 5时,由$(n + 5)^{2}-n^{2}=25 + 10n$产生的智慧优数为:35,45,55,65,75,85,·s当m = n + 6时,由$(n + 6)^{2}-n^{2}=36 + 12n$产生的智慧优数为:48,60,72,84,·s当m = n + 7时,由$(n + 7)^{2}-n^{2}=49 + 14n$产生的智慧优数为:63,77,91,·s当m = n + 8时,由$(n + 8)^{2}-n^{2}=64 + 16n$产生的智慧优数为:80,96,·s综上,将上述产生的智慧优数从小到大排列如下:8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,·s故第3个智慧优数是15;第23个智慧优数是57.