《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

9. (复旦大学附中自主招生)已知 $ 2^{a}=3,3^{b}=2 $,则 $ \frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b + 1}= $1.

答案： 9.1提示:由$2^{a} = 3$，得$2^{ab} = 3^{b} = 2$，所以$ab = 1$，原式$= \frac{a + b + 2}{ab + a + b + 1} = \frac{a + b + 2}{a + b + 2} = 1$。

10. (深圳市“鹏程杯”邀请赛)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^{2}+ab + b^{2}=3 $,若 $ a^{2}-ab + b^{2} $ 的最大值和最小值分别为 $ M $ 和 $ m $,则 $ M + m $ 的值为10.

答案： 10.10提示:设$a^{2} - ab + b^{2} = k$，因为$a^{2} + ab + b^{2} = 3$，所以$a^{2} + b^{2} = \frac{k + 3}{2}$，$ab = \frac{3 - k}{2}$。因为$(a + b)^{2} \geq 0$，$(a - b)^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + b^{2} \geq 2|ab|$，即$\frac{k + 3}{2} \geq 2|\frac{3 - k}{2}|$，也就是$\frac{k + 3}{2} \geq |3 - k|$，所以$-\frac{k + 3}{2} \leq 3 - k \leq \frac{k + 3}{2}$，解得$1 \leq k \leq 9$，所以$M = 9$，$m = 1$，所以$M + m = 10$。故答案为10。

11. (“学而思杯”中学生理科能力大赛)已知 $ a,b,c $ 为实数,且 $ \sqrt[3]{(a + 2010)^{8}+8}+\sqrt{|b + 8|+1}=\sqrt{6c - c^{2}} $,则 $ (b + c^{2})^{a} $ 的值为.

答案： 1

12. (北京四中自主招生)已知 $ x = \sqrt[3]{4(\sqrt{5}+1)}-\sqrt[3]{4(\sqrt{5}-1)} $,则 $ x^{3}+12x $ 的算术平方根是

答案： 11.2$\sqrt{2}$提示:设$\sqrt[4]{5} + 1 = a$，$\sqrt[4]{5} - 1 = b$，则$a^{3} = \sqrt{5} + 1$，$b^{3} = \sqrt{5} - 1$。又因为$4 = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = a^{3}b^{3}$，所以$x = a^{2}b - ab^{2}$，$x^{2} = a^{4}b^{2} - 2a^{3}b^{3} + a^{2}b^{4}$，故原式$= x(x^{2} + 12) = (a^{2}b - ab^{2})(a^{4}b^{2} - 2a^{3}b^{3} + a^{2}b^{4} + 12) = (a^{2}b - ab^{2})(a^{4}b^{2} + a^{2}b^{4} + 4) = ab(a - b)a^{2}b^{2}(a^{2} + b^{2} + ab) = a^{3}b^{3}(a^{3} - b^{3}) = 4(\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1) = 4 × 2 = 8$，则其算术平方根是$2\sqrt{2}$。

13. (石家庄二中自主招生)$ (x^{2}-2x - 3)(x^{3}+5x^{2}-6x + 7)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x + a_{0} $,则 $ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}= $-28.

答案： 12.-28提示:观察右边多项式，令$x = 1$，即可得到$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$，也就是说$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$是左边多项式取$x = 1$时的值，于是把$x = 1$代入$(x^{2} - 2x - 3)(x^{3} + 5x^{2} - 6x + 7)$得：$(1^{2} - 2 × 1 - 3) × (1^{3} + 5 × 1^{2} - 6 × 1 + 7) = -28$。

14. (江苏省高邮中学教改班招生)记 $ x = (1 + 2)(1 + 2^{2})(1 + 2^{4})(1 + 2^{8})·s(1 + 2^{n}) $,且 $ x + 1 = 2^{128} $,则 $ n = $64.

答案： 13.64提示:由$(1 - 2)x = (1 - 2)(1 + 2)·s(1 + 2^{n})$知，$-x = 1 - 2^{2n}$，$2^{2n} = 2^{128}$，$n = 64$。

15. (2023 春·苏州市姑苏区期中)阅读以下材料,回答下列问题:
小明遇到这样一个问题:计算 $ (x + 2)(2x + 3)(3x + 4) $ 所得多项式的一次项系数. 小明想通过计算 $ (x + 2)(2x + 3)(3x + 4) $ 所得的多项式解决上面的问题,但感觉有些繁琐,他想探寻一下,是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始,先找 $ (x + 2)(2x + 3) $ 所得多项式中的一次项系数. 通过观察发现:

也就是,只需用 $ x + 2 $ 中的一次项系数 1 乘以 $ 2x + 3 $ 中的常数项 3,再用 $ x + 2 $ 中的常数项 2 乘以 $ 2x + 3 $ 中的一次项系数 2,两个积相加 $ 1×3 + 2×2 = 7 $,即可得到一次项系数.
延续上面的方法,计算 $ (x + 2)(2x + 3)(3x + 4) $ 所得多项式的一次项系数. 可以先用 $ x + 2 $ 的一次项系数 1,$ 2x + 3 $ 的常数项 3,$ 3x + 4 $ 的常数项 4,相乘得到 12;再用 $ 2x + 3 $ 的一次项系数 2,$ x + 2 $ 的常数项 2,$ 3x + 4 $ 的常数项 4,相乘得到 16;然后用 $ 3x + 4 $ 的一次项系数 3,$ x + 2 $ 的常数项 2,$ 2x + 3 $ 的常数项 3,相乘得到 18,最后将 12,16,18 相加,得到的一次项系数为 46.
参考小明思考问题的方法,解决下列问题:
(1)计算 $ (2x + 1)(3x + 2) $ 所得多项式的一次项系数为7.
(2)计算 $ (x + 1)(3x + 2)(4x - 3) $ 所得多项式的一次项系数为-7.
(3)若计算 $ (x^{2}-x + 1)(x^{2}-3x + a)(2x - 1) $ 所得多项式的一次项系数为 0,则 $ a = $-1.
(4)计算 $ (x + 1)^{5} $ 所得多项式的一次项系数为5,二次项系数为10.
(5)计算 $ (2x - 1)^{5} $ 所得多项式的一次项系数为10,二次项系数为-40.

答案： 14.
(1)$7$；
(2)$-7$；
(3)$-1$；
(4)$5$，$10$；
(5)$10$，$-40$。提示：
(1)$1 × 2 × 2 × 1 × 3 = 7$；
(2)$21 × (-3) × 2 × 3 × 1 × (-3) + 4 × 1 × 2 = -6 - 9 + 8 = -7$；
(3)由题意得$(-1) × a × (-1) + (-3) × 1 × (-1) + 2 × 1 × a = 0$，也就是$a + 3 + 2a = 0$，所以$a = -1$；
(4)因为$(x + 1)^{5} = (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x^{2} + 2x + 1)(x^{2} + 2x + 1)(x + 1)$，所以一次项系数为$2 × 1 × 1 + 2 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 = 5$，二次项系数为$1+1+2 × 2+2 × 1+2 × 1 = 10$；
(5)因为$(2x - 1)^{5} = (2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1) = (4x^{2} - 4x + 1)(4x^{2} - 4x + 1)(2x - 1)$，所以一次项系数为$-4 × 1 × (-1)+(-4) × 1 × (-1)+2 × 1 × 1 = 10$，二次项系数为$2 × 2 × (-4) × 1+(-4) × (-4) × (-1)+4 × (-1) × 2 = -40$。故答案依次为$7$；$-7$；$-1$；$5$，$10$；$10$，$-40$。