《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

16. (2024·安徽一模) 如图 7 - 16, 四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = BC$, 对角线 $ AC$, $ BD $ 相交于点 $ O$, $\angle BAC = \angle ADB = 60^{\circ}$, 点 $ E $ 是 $ BD $ 上一点, $ BE = AD$, 连接 $ CE$.
(1) 求证: $\triangle DCE$ 为等边三角形;
(2) 取 $ AB $ 的中点 $ M$, 连接 $ DM $ 并延长交 $ CB $ 的延长线于点 $ N$, 若 $\angle N = \angle ACD$, 求证: $ MN = AD + DM$.

答案： 16.证明：
(1)
∵AB=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC。
∵∠AOD=∠BOC，
∴180°-∠ADB-∠AOD=180°-∠ACB-∠BOC，即∠DAC=∠CBE，可证△DAC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD=∠BCE，CD=CE。
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴△DCE为等边三角形。
(2)在MN上取点G，使MG=MD，连接BG。
设∠N=∠ACD=α，由△DAC≌△EBC，得∠ACD=∠BCE=α。
∵∠N=∠ACD，∠CDF=∠CDN，
∴∠CFD=∠DCB=∠ACB+∠ACD=60°+α，
∴∠CDF=180°-∠CFD-∠ACD=120°-2α。
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=60°，∠ADC=120°，
∴∠ADF=∠ADC-∠CDF=2α。
∴△AMD≌△BMG(SAS)，
∴AD=BG，∠ADF=∠BGM=2α。
∵∠N=α，
∴∠N=∠NBG，
∴GN=BG，
∴GN=AD。
∵MN=MG+GN，
∴MN=AD+DM。

17. (2023 秋·临沂市河东区期末) 如图 1, 在等边三角形 $ ABC $ 中, 点 $ D$, $ E $ 分别在边 $ AB$, $ BC $ 上, $ CE = BD$, 连接 $ AE$, $ CD$, $ AE $ 与 $ CD $ 相交于 $ P$.
(1) 求证: $\angle APD = 60^{\circ}$;
(2) 如图 2, 连接 $ PB$, 当 $ AP = 2CP $ 时, 求证: $ BP \perp PA$.

答案：
17.证明：
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠B=∠CAB=60°，可证△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠APD=∠CAE+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°。
(2)如图7-11，过点A作AM⊥CD，交CD，BC于点M，N，将△ACE绕点A顺时针旋转60°至△ABH，连接NH。
∴AE=AH，∠CAE=∠BAH，BH=CE。
∵AM⊥CD，∠APD=60°，
∴∠PAM=30°，
∴AP=2PM。
∵AP=2CP，
∴AP=CM。
由
(1)知∠BCD=∠CAE，
∴∠ACP=∠EAB，可证△ACM≌△BAP(SAS)，
∴∠APB=∠CMA=90°，
∴BP⊥PA。

18. (2023 秋·息县期末) 如图 7 - 18, $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$, $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ E$, $\angle ABD = \angle ADB$.
(1) 求证: $ AC $ 垂直平分 $ BD$;
(2) 过点 $ B $ 作 $ BF // CD $ 交 $ CA $ 的延长线于 $ F$, 如果 $ AB = AF$.
① 求证: $\triangle BCD$ 是等边三角形;
② 如果 $ G$, $ H $ 分别是线段 $ AC$, 线段 $ CD $ 上的动点, 当 $ GH + AH $ 为最小值时, 请确定点 $ H $ 的位置, 并思考此时 $ GH $ 与 $ CH $ 有怎样的数量关系.

答案：
18.

(1)证明：
∵∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AB=AD，∠ABC - ∠ABD=∠ADC - ∠ADB，
∴A在BD的垂直平分线上。
∵∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD。
(2)①证明：如图7-12图1，设∠F=α，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠F=α，∠ABC是△ABF的外角，
∴∠BAC=∠F+∠AFB=2α。
由
(1)AC⊥BD，CB=CD，
∴∠BCE=∠DCE。
∵BF//CD，
∴∠F=∠DCE，
∵∠BCE=∠DCE=α，
∴∠ABC=90°，
∴∠BCE+∠BAC=90°，即α+2α=90°，
∴α=30°，
∴∠DCB=2∠BCE=60°，
∴BC=CD，
∴△BCD是等边三角形。
②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH。
理由：如图7-12图2，延长AD至A′，使DA′=AD，
∵CD⊥AD，
∴A与A′关于CD成轴对称。
过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接A′H，
∴AH=A′H，
∴AH+GH=A′H+GH=A′G，此时GH+AH为最小。
由①知：∠DCE=30°，即∠GCH=30°，
∵A′G⊥AC即GH⊥CG，在Rt△GCH中，∠GCH=30°，
∴CH=2GH。
∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH。